Für ein einfaches Polygon in der Ebene mit ganzzahligen Eckkoordinaten drückt Picks Satz die euklidische Fläche A durch A = I + B/2 − 1 aus, wobei I die Anzahl der inneren Gitterpunkte und B die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand ist.

Prinzip

Die Fläche eines Gitterpolygons wird kombinatorisch durch das Zählen der Gitterpunkte im Inneren und auf dem Rand bestimmt; Geometrie reduziert sich auf Gitterzählung bei ganzzahligen Eckkoordinaten.

Demonstration

Beispiel: Das Dreieck mit Ecken (0,0), (4,0) und (0,3) hat nach der Determinantenformel die Fläche 6. Die Randgitterpunkte B betragen 8 (fünf auf der Basis, vier auf der vertikalen Seite, zwei auf der Hypotenuse mit Korrektur der Eckpunkte), somit sagt Pick I = A − B/2 + 1 = 6 − 4 + 1 = 3 innere Gitterpunkte voraus, was sich durch direktes Zählen bestätigt.

Fehlanwendung

Die Formel auf Polygone mit nichtganzzahligen Eckpunkten, auf Polygone mit Löchern oder auf selbstüberschneidende Polygone anzuwenden; in diesen Fällen gilt Picks Satz nicht oder erfordert Modifikationen.

Konsequenz

Erlaubt eine exakte, einfache kombinatorische Berechnung der Flächen von Gitterpolygonen und das Ermitteln innerer Gitterpunktzahlen aus Flächen‑ und Randdaten; er bildet die Grundlage diskreter und rechnerischer Methoden der planaren Gittergeometrie.

Umkehrung

Sind A und B für ein Gitterpolygon gegeben, liefert Picks Satz eindeutig I; die Angabe der Fläche allein bestimmt jedoch nicht die kombinatorische Gestalt des Polygons. Die Formel ist eine exakte Gleichung, keine weitergehende Gestaltbehauptung.

Abgrenzung

Voraussetzung ist ein einfaches (nicht selbstüberschneidendes) Polygon mit ganzzahligen Eckpunkten in der Ebene; Polygone mit Löchern, gekrümmten Rändern oder nichtganzzahligen Ecken liegen außerhalb des Geltungsbereichs.

Semantische Spannung

Wird häufig in Verbindung mit diskreten Versionen stetiger Theoreme (etwa Analoga zu Gauß‑Bonnet oder zur Euler‑Charakteristik) gesehen; die Spannung liegt zwischen kombinatorischen Gitterzählungen und glatten Flächenbegriffen, doch Pick ist im Gitterkontext exakt.

Synthese

Picks Satz stellt die exakte Brücke zwischen diskretem Zählen von Gitterpunkten und kontinuierlicher Fläche für einfache Gitterpolygone her: Fläche = innere Punkte + halbe Randpunkte − 1, eine kompakte kombinatorische Formel der planaren Gittergeometrie.