Para un polígono simple en el plano cuyos vértices son puntos de la red entera, el teorema de Pick expresa el área euclidiana A como A = I + B/2 − 1, donde I es el número de puntos enteros en el interior y B el número de puntos enteros en el borde.

Principio

El área de un polígono de red viene determinada combinatoriamente por el conteo de puntos de la red en el interior y en el borde; la geometría se reduce a contaje sobre la red para vértices de coordenadas enteras.

Demostración

Ejemplo: triángulo con vértices en (0,0), (4,0) y (0,3). Su área es 6 por la fórmula del determinante. Los puntos del borde B son 8 (cinco en la base, cuatro en el lado vertical, dos en la hipotenusa con ajuste), por lo que Pick predice I = A − B/2 + 1 = 6 − 4 + 1 = 3 puntos enteros interiores, comprobable por conteo directo.

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula a polígonos con vértices no enteros, a polígonos con agujeros o a polígonos autointersectantes; en esos casos el teorema de Pick no es aplicable o requiere modificación.

Consecuencia

Proporciona un método combinatorio exacto y sencillo para calcular áreas de polígonos de red y para deducir el número de puntos interiores a partir de los datos de área y borde; fundamenta enfoques discretos y computacionales en geometría de redes planas.

Inversión

Dados A y B para un polígono de red, Pick determina I de forma única; sin embargo, la sola área no determina la estructura combinatoria del polígono. La fórmula es una igualdad exacta, no una afirmación sobre la forma más allá del conteo.

Límite

Requiere un polígono simple (sin autointersecciones) cuyos vértices tengan coordenadas enteras en el plano; polígonos con agujeros, bordes curvos o vértices no enteros quedan fuera del alcance.

Tensión semántica

Se relaciona a menudo con versiones discretas de teoremas continuos (por ejemplo análogos de Gauss‑Bonnet o de la característica de Euler); la tensión reside entre enunciados combinatorios y nociones de área continua, pero Pick es exacto en el contexto de la red.

Síntesis

El teorema de Pick ofrece un puente exacto entre el conteo discreto de puntos de la red y el área continua para polígonos de red simples: el área es igual a los puntos interiores más la mitad de los puntos del borde menos uno, una fórmula compacta para la geometría planar en red.