Pour un triangle donné et un point P situé sur son cercle circonscrit, les projections orthogonales (pieds) de P sur les trois côtés du triangle (ou leurs prolongements) sont alignées sur une même droite ; cette droite commune s'appelle la droite de Simson de P par rapport au triangle.

Principe

Les points pédaux d'un point situé sur le cercle circonscrit d'un triangle sont collinéaires : la projection perpendiculaire d'un tel point sur les côtés produit trois pieds alignés.

Démonstration

Considérons le triangle ABC et un point P sur son cercle circonscrit. Construisez les perpendiculaires depuis P sur AB, BC et CA et notez les pieds D, E et F. La propriété de Simson affirme que D, E et F sont alignés. On peut vérifier concrètement en construisant le triangle, son cercle circonscrit et en calculant les coordonnées des pieds pour constater leur colinéarité.

Mauvaise application

Supposer la colinéarité des pieds lorsque P n'est pas sur le cercle circonscrit ; pour un point générique extérieur ou intérieur hors du cercle, les trois pieds ne sont généralement pas alignés.

Conséquence

Lorsque la propriété s'applique, la droite de Simson fournit un lieu linéaire associé à P utile pour des constructions et pour démontrer d'autres colinéarités et concurrences en géométrie du triangle ; son enveloppe et ses intersections avec des centres triangulaires portent des correspondances classiques.

Inversion

La réciproque est vraie : si les trois pieds des perpendiculaires issues d'un point P sur les côtés (prolongés) du triangle ABC sont alignés, alors P appartient au cercle circonscrit de ABC ; la propriété caractérise donc les points circonscrits.

Limite

S'applique uniquement aux triangles plans non dégénérés et aux points P situés sur le cercle circonscrit ; les projections sur les prolongements des côtés sont autorisées, mais les cas dégénérés (triangle dégénéré ou projections coïncidant) nécessitent un traitement particulier.

Tension sémantique

La droite de Simson est parfois confondue avec d'autres droites pédales ou droites de Steiner ; elle se distingue par l'hypothèse centrale que P est sur le cercle circonscrit.

Synthèse

La droite de Simson est le lieu en ligne droite formé par les trois pieds des perpendiculaires issues d'un point sur le cercle circonscrit d'un triangle ; elle caractérise ces points par la colinéarité de leurs points pédaux et sert d'outil compact en géométrie classique.