Für ein gegebenes Dreieck und einen Punkt P auf seinem Umkreis liegen die orthogonalen Projektionen (Füße) von P auf die drei Seiten des Dreiecks (oder deren Fortsetzungen) auf einer einzigen Geraden; diese gemeinsame Gerade heißt Simson-Linie von P bezüglich des Dreiecks.

Prinzip

Die Pedalpunkte eines punktes auf dem Umkreis eines Dreiecks sind kollinear: die senkrechte Projektion eines solchen Punktes auf die Seiten führt zu drei ausgerichteten Füßen.

Demonstration

Betrachte das Dreieck ABC und einen Punkt P auf seinem Umkreis. Führe Senkrechte von P auf AB, BC und CA und bezeichne die Fußpunkte D, E, F. Die Aussage der Simson-Linie ist, dass D, E und F auf einer Geraden liegen. Dies lässt sich praktisch durch Konstruktion des Dreiecks, Zeichnen des Umkreises und Berechnung der Fußpunkte bestätigen.

Fehlanwendung

Die Eigenschaft fälschlich auf Punkte P anzuwenden, die nicht auf dem Umkreis liegen; für einen allgemeinen inneren oder äußeren Punkt außerhalb des Umkreises sind die drei senkrechten Fußpunkte in der Regel nicht kollinear.

Konsequenz

Ist die Eigenschaft erfüllt, liefert die Simson-Linie einen linearen Ort, der bei Konstruktionen und beim Nachweis weiterer Kollinearitäten und Konkurrenzen in der Dreiecksgeometrie nützlich ist; ihr Hüllkurvenverhalten und ihre Schnittpunkte mit Dreieckszentren kodieren klassische Zusammenhänge.

Umkehrung

Die Umkehrung gilt: Sind die drei senkrechten Fußpunkte eines Punktes P auf die (fortgesetzten) Seiten des Dreiecks ABC kollinear, so liegt P auf dem Umkreis von ABC; die Eigenschaft ist also charakterisierend.

Abgrenzung

Gilt nur für nichtdegenerierte ebene Dreiecke und Punkte P auf dem Umkreis; Projektionen auf die Fortsetzungen der Seiten sind zugelassen, degenerate Fälle (z. B. zusammenfallende Fußpunkte) erfordern besondere Behandlung.

Semantische Spannung

Die Simson-Linie wird gelegentlich mit anderen benannten Geraden in der Dreiecksgeometrie verwechselt (etwa bestimmten Pedal- oder Steiner-Linien); sie wird durch die Bedingung des Umkreispunktes klar unterschieden.

Synthese

Die Simson-Linie ist der lineare Ort der drei Fußpunkte der Lotfußprojekte eines Punktes auf dem Umkreis eines Dreiecks; sie charakterisiert diese Punkte durch Pedalpunkte-Kolinearität und ist ein kompaktes Werkzeug klassischer Geometrie.