Para un triángulo dado y un punto P sobre su circunferencia circunscrita, las proyecciones ortogonales (pies) de P sobre los tres lados del triángulo (o sus prolongaciones) yacen en una única recta; dicha recta común se llama la recta de Simson de P respecto del triángulo.

Principio

Los puntos pedales de un punto situado en la circunferencia circunscrita de un triángulo son colineales: la proyección perpendicular de tal punto sobre los lados produce tres pies alineados.

Demostración

Considere el triángulo ABC y un punto P en su circunferencia. Trace perpendiculares desde P a AB, BC y CA y llame D, E y F a los pies. La afirmación de la recta de Simson es que D, E y F están alineados. De forma concreta se puede construir el triángulo, dibujar su circunferencia circunscrita y comprobar mediante coordenadas o razonamiento sintético que los tres pies están sobre una misma recta.

Aplicación incorrecta

Aplicar la colinealidad cuando P no está en la circunferencia; para un punto genérico fuera o dentro del círculo circunscrito pero no sobre él, los tres pies no suelen ser colineales.

Consecuencia

Cuando procede, la recta de Simson proporciona un lugar lineal asociado a P útil para construcciones y para demostrar otras colinealidades y concurrencias en geometría del triángulo; su envolvente y sus intersecciones con centros triangulares llevan correspondencias clásicas.

Inversión

La recíproca se cumple: si los tres pies de las perpendiculares desde un punto P a los lados (prolongados) de ABC son colineales, entonces P pertenece a la circunferencia circunscrita de ABC; la propiedad caracteriza por tanto los puntos circunscritos.

Límite

Se aplica únicamente a triángulos planos no degenerados y a puntos P situados en la circunferencia circunscrita; se admiten proyecciones sobre las prolongaciones de los lados, pero los casos degenerados requieren trato especial.

Tensión semántica

Puede confundirse con otras rectas nombradas en la geometría del triángulo (por ejemplo rectas pedales o de Steiner); la recta de Simson se distingue por la hipótesis central de que P está sobre la circunferencia circunscrita.

Síntesis

La recta de Simson es el lugar rectilíneo formado por los tres pies de las perpendiculares desde un punto situado en la circunferencia circunscrita de un triángulo; caracteriza tales puntos por la colinealidad de sus puntos pedales y es una herramienta compacta en geometría clásica.