Énoncé en théorie des métriques affirmant que, pour trois points x, y, z, la distance entre x et z n'excède pas la somme des distances x–y et y–z ; symboliquement d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z).

Principe

Règle organisatrice selon laquelle les distances sont sous-additives : passer par un point intermédiaire ne peut pas réduire la distance au-dessous de la distance directe.

Démonstration

Dans le plan euclidien, prendre A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1). On a AB=1, BC=1, AC=√2 ; on vérifie AC ≤ AB+BC puisque √2 ≤ 2. Dans un espace vectoriel normé, ||u+v|| ≤ ||u||+||v|| est l'équivalent de l'inégalité triangulaire pour la métrique induite.

Mauvaise application

Appliquer l'inégalité triangulaire à des distances orientées ou signées sans tenir compte de l'orientation, ou présumer qu'elle vaut pour des scores de similarité ou de dissimilarité qui ne sont pas des métriques.

Conséquence

Elle garantit que les segments géodésiques sont des chemins de longueur minimale, soutient les arguments de convergence en analyse et rend les topologies issues de normes bien comportées.

Inversion

Nier l'inégalité (d(x,z) ≥ d(x,y)+d(y,z)) est faux en général ; contraste utile : la condition ultramétrique où d(x,z) ≤ max{d(x,y),d(y,z)} est plus forte et remplace la borne additive.

Limite

S'applique aux métriques et pseudométriques (non négatives, symétriques, satisfaisant l'inégalité triangulaire). Elle ne s'applique pas aux relations appelées « distances » qui manquent d'un axiome métrique ni aux mesures pouvant prendre des valeurs négatives.

Tension sémantique

Tension entre l'inégalité triangulaire standard (borne additive) et la propriété ultramétrique (borne par le maximum) : certaines intuitions ou résultats diffèrent selon le cas.

Synthèse

L'inégalité triangulaire est l'axiome de sous-additivité des espaces métriques et normés : elle empêche l'existence de raccourcis violant la notion de distance, fonde la géométrie des chemins minimaux et entraîne de nombreuses conséquences analytiques et topologiques.