Aussage aus der Metrik: Für drei Punkte x, y, z gilt, dass die Distanz d(x,z) nicht größer ist als d(x,y)+d(y,z), also d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z).

Prinzip

Ordnungssatz, dass Distanzen subadditiv sind: Ein Umweg über einen Zwischenpunkt kann die Gesamtdistanz nicht unter die direkte Distanz drücken.

Demonstration

Im euklidischen Raum wählen A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1). AB=1, BC=1, AC=√2; damit AC ≤ AB+BC, da √2 ≤ 2. In normierten Vektorräumen entspricht ||u+v|| ≤ ||u||+||v|| der Dreiecksungleichung der induzierten Metrik.

Fehlanwendung

Die Dreiecksungleichung auf gerichtete oder signierte Abstände anwenden, ohne die Orientierung zu beachten, oder annehmen, sie gelte für beliebige Ähnlichkeits- oder Unähnlichkeitsmaße, die keine Metriken sind.

Konsequenz

Sie stellt sicher, dass Geradensegmente kürzeste Wege sind, stützt Konvergenzaussagen in der Analysis und sorgt für das erwartete Verhalten von topologien, die durch Normen definiert werden.

Umkehrung

Die gegenteilige Ungleichung (d(x,z) ≥ d(x,y)+d(y,z)) ist im Allgemeinen falsch; ein deutlicher Gegensatz ist die ultrametrische Bedingung d(x,z) ≤ max{d(x,y),d(y,z)}, die strengere Einschränkung.

Abgrenzung

Gilt für Metriken und Pseudometriken (nichtnegativ, symmetrisch, erfüllt Dreiecksungleichung). Gilt nicht für beliebige sogenannte ‚Abstands‘-Relationen ohne metrische Axiome oder für Messgrößen mit negativen Werten.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der üblichen additiven Dreiecksungleichung und der ultrametrischen Maximalbedingung, weil beide sehr unterschiedliche geometrische Folgerungen haben.

Synthese

Die Dreiecksungleichung ist das Subadditivitätsaxiom metrischer und normierter Räume: sie verhindert ‚Kurzschlüsse‘ der Distanz, begründet die Geometrie kürzester Wege und liefert zentrale analytische und topologische Folgen.