Afirmación en teoría métrica que para tres puntos x, y, z la distancia entre x y z no excede la suma de las distancias x–y y y–z; simbólicamente d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z).

Principio

Regla organizadora que establece la subaditividad de las distancias: pasar por un punto intermedio no puede acortar la distancia total por debajo de la directa.

Demostración

En el plano euclidiano tomar A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1). AB=1, BC=1, AC=√2, y se cumple AC ≤ AB+BC porque √2 ≤ 2. En espacios vectoriales normados la desigualdad ||u+v|| ≤ ||u||+||v|| equivale a la desigualdad triangular para la métrica inducida.

Aplicación incorrecta

Aplicarla a distancias con signo o dirigidas sin considerar orientación, o suponer que vale para medidas de similitud o disimilitud que no son métricas.

Consecuencia

Garantiza que los segmentos rectilíneos son caminos de longitud mínima, es base de argumentos de convergencia en análisis y asegura el comportamiento esperado de topologías inducidas por normas.

Inversión

La negación (d(x,z) ≥ d(x,y)+d(y,z)) es en general falsa; contraste relevante: la condición ultramétrica d(x,z) ≤ max{d(x,y),d(y,z)}, que es más fuerte que la cota aditiva habitual.

Límite

Aplica a métricas y pseudométricas (no negativas, simétricas, que satisfacen la desigualdad triangular). No se aplica a relaciones llamadas ‘distancias’ que carecen de axiomas métricos ni a medidas que admiten valores negativos.

Tensión semántica

Tensión entre la desigualdad triangular estándar (cota aditiva) y la propiedad ultramétrica (cota por el máximo), porque conducen a geometrías y resultados distintos.

Síntesis

La desigualdad triangular es el axioma de subaditividad en espacios métricos y normados: impide atajos que violarían la distancia, sustenta la noción de caminos mínimos y origina consecuencias analíticas y topológicas importantes.