Pour un ensemble convexe non vide K dans un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire, la fonction de support h_K(u) associe à chaque direction u le suprémum des produits scalaires sup_{x∈K}⟨x,u⟩ ; équivalente à la distance signée de l'hyperplan support normal à u.

Principe

h_K est homogène positive de degré un et convexe en tant que fonction de la direction ; elle linéarise la somme de Minkowski par h_{K+L}=h_K+h_L et encode l'information sur les hyperplans supports. Les translations modifient h_K par un terme linéaire : h_{K+t}(u)=h_K(u)+⟨t,u⟩.

Démonstration

La fonction de support d'une boule euclidienne de rayon r est h(u)=r||u|| ; pour un polytope elle est le maximum d'un nombre fini de formes linéaires déterminées par ses sommets ou facettes. La fonction de support détermine de manière unique un corps convexe compact à translation près, le terme linéaire codant la position.

Mauvaise application

Utiliser h_K comme si c'était la fonction radiale (distance de l'origine au bord selon u) sans tenir compte des effets de translation, ou appliquer des conclusions fondées sur la convexité quand K n'est pas convexe ; omettre le terme linéaire après translation.

Conséquence

Fournit une paramétrisation globale commode des corps convexes pour la reconstruction, le calcul des sommes de Minkowski, les relations de dualité et les formules variationnelles ; elle transforme des opérations géométriques en opérations d'analyse convexe sur des fonctions.

Inversion

La fonction radiale (ou jauge inverse) donne la distance de l'origine au bord dans la direction u et se comporte différemment ; en prenant les polaires on échange les rôles de la fonction de support et du fonctionnel de Minkowski, inversant les perspectives primal/duale.

Limite

Définie pour tout sous-ensemble non vide par sup⟨x,u⟩, mais les propriétés classiques de la fonction de support (convexité, homogénéité positive, unicité) supposent que K est fermé et convexe ; pour K non borné les valeurs peuvent être infinies pour certaines directions.

Tension sémantique

Souvent confondue avec le fonctionnel de Minkowski (jauge) ou avec des fonctions radiales ; bien que ces objets soient des descripteurs directionnels d'ensembles, ils diffèrent par homogénéité, relations de dualité et sensibilité à la translation.

Synthèse

La fonction de support est l'application convexe et positivement homogène qui enregistre la projection directionnelle maximale d'un corps convexe ; elle est une représentation fonctionnelle fondamentale qui traduit opérations géométriques (somme, translation, dualité) en opérations d'analyse convexe.