Für eine nichtleere konvexe Menge K in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt ordnet die Stützfunktion h_K(u) jeder Richtung u das Supremum der Skalarprodukte sup_{x∈K}⟨x,u⟩ zu; äquivalent beschreibt sie den (gerichteten) Abstand der Stützebene mit Normalvektor u.

Prinzip

h_K ist positiv homogen vom Grad eins und konvex als Funktion der Richtung; sie linearisiert die Minkowski-Summe durch h_{K+L}=h_K+h_L und codiert Informationen über Stützebenen. Translationen verändern h_K um einen linearen Term: h_{K+t}(u)=h_K(u)+⟨t,u⟩.

Demonstration

Die Stützfunktion der euklidischen Kugel mit Radius r ist h(u)=r||u||; bei einem Polyeder ist sie das Maximum endlich vieler linearer Funktionale, bestimmt von seinen Ecken oder Seitenflächen. Die Stützfunktion bestimmt einen kompakten konvexen Körper eindeutig bis auf die durch lineare Terme kodierte Lage.

Fehlanwendung

h_K mit der radialen Funktion (Abstand vom Ursprung zur Grenze in Richtung u) verwechseln, ohne Translationseffekte zu berücksichtigen, oder Schlussfolgerungen aus Konvexität anwenden, wenn K nicht konvex ist; den linearen Verschiebungsterm nach Translation übersehen.

Konsequenz

Bietet eine praktische globale Parametrisierung konvexer Körper für Rekonstruktion, Berechnung von Minkowski-Summen, Dualitätsbeziehungen und Variationsformeln; sie übersetzt geometrische Operationen in Operationen der konvexen Analysis auf Funktionen.

Umkehrung

Die radiale Funktion gibt den Abstand vom Ursprung zur Randstelle in Richtung u und verhält sich anders; durch Polare wird die Rolle von Stützfunktion und Minkowski-Funktional vertauscht und die primal/duale Perspektive umgekehrt.

Abgrenzung

Für beliebige nichtleere Teilmengen durch sup⟨x,u⟩ definiert, aber die klassischen Eigenschaften der Stützfunktion (Konvexität, positive Homogenität, Eindeutigkeit) setzen voraus, dass K abgeschlossen und konvex ist; bei unbeschränkten Mengen können Werte in manchen Richtungen unendlich sein.

Semantische Spannung

Oft mit dem Minkowski-Funktional (Jauge) oder radialen Funktionen verwechselt; obwohl alle Richtungsbeschreiber sind, unterscheiden sie sich in Homogenität, Dualitätsbeziehungen und Übersetzungsempfindlichkeit.

Synthese

Die Stützfunktion ist die konvexe, positiv homogene Abbildung, die die maximale projektive Komponente eines konvexen Körpers in jeder Richtung speichert; sie ist ein grundlegendes funktionales Repräsentationsmittel, das geometrische Konstrukte in der konvexen Analysis handhabbar macht.