Para un conjunto convexo no vacío K en un espacio vectorial real con producto interior, la función de soporte h_K(u) asigna a cada dirección u el supremo de los productos interiores sup_{x∈K}⟨x,u⟩; equivalente a la distancia dirigida del hiperplano de soporte con normal u.

Principio

h_K es positiva homogénea de grado uno y convexa como función de la dirección; linealiza la suma de Minkowski mediante h_{K+L}=h_K+h_L y codifica información sobre los soportes del contorno. Las traslaciones cambian h_K por un término lineal: h_{K+t}(u)=h_K(u)+⟨t,u⟩.

Demostración

La función de soporte de la bola euclídea de radio r es h(u)=r||u||; para un politopo es el máximo de un número finito de funcionales lineales determinados por sus vértices o facetas. La función de soporte determina de forma única un cuerpo convexo compacto salvo por la posición codificada en términos lineales.

Aplicación incorrecta

Usar h_K como si fuera la función radial (distancia desde el origen hasta la frontera en la dirección u) sin tener en cuenta los efectos de traslación, o aplicar conclusiones basadas en convexidad cuando K no es convexo; omitir el término lineal de desplazamiento tras una traslación.

Consecuencia

Proporciona una parametrización global conveniente de cuerpos convexos para reconstrucción, cálculo de sumas de Minkowski, relaciones de dualidad y fórmulas variacionales; traduce operaciones geométricas en operaciones de análisis convexa sobre funciones.

Inversión

La función radial da la distancia desde el origen al borde en la dirección u y se comporta de forma distinta; tomando polares se intercambian los roles de la función de soporte y del funcional de Minkowski, invirtiendo las perspectivas primal/dual.

Límite

Definida para cualquier subconjunto no vacío mediante sup⟨x,u⟩, pero las propiedades clásicas de la función de soporte (convexidad, homogeneidad positiva, unicidad) presuponen que K es cerrado y convexo; para conjuntos no acotados los valores pueden ser infinitos en algunas direcciones.

Tensión semántica

A menudo se confunde con el funcional de Minkowski (jauge) o con funciones radiales; aunque todos son descriptores direccionales de conjuntos, difieren en homogeneidad, relaciones de dualidad y sensibilidad a traslaciones.

Síntesis

La función de soporte es la aplicación convexa y positivamente homogénea que registra la proyección direccional máxima de un cuerpo convexo; es una representación funcional primaria que traduce operaciones geométricas (sumas, traslaciones, dualidad) en operaciones tratables en análisis convexo.