Pour un sous-ensemble fermé A de l'espace euclidien, la portée (reach) est le sup des r≥0 tels que tout point à distance strictement inférieure à r de A admet un unique point le plus proche dans A ; équivalemment le rayon du plus grand voisinage tubulaire sur lequel la projection sur A est bien définie et à valeur unique.

Principe

Quantifie la régularité extrinsèque en excluant les approches proches de la self-intersection et les grandes courbures : la portée contrôle la courbure, la distance à l'axe médial et garantit un voisinage tubulaire où la projection sur l'ensemble est une rétraction Lipschitz (et lisse pour des ensembles lisses).

Démonstration

Pour une courbe ou hypersurface plongée et lisse à courbure bornée, la portée est au moins l'inverse de la courbure principale maximale ; pour une sphère de rayon R plongée dans l'espace euclidien la portée vaut R (la distance à l'axe médial étant le centre).

Mauvaise application

Utiliser la proximité au sens d'Hausdorff ou la régularité C^1 comme substitut d'une portée positive — une courbe C^1 peut avoir une portée arbitrairement petite à cause d'approches presque tangentielles — ou confondre portée avec rayons intrinsèques d'injectivité ou de convexité qui sont définis différemment.

Conséquence

Une portée positive donne un voisinage tubulaire diffeomorphe au fibré normal, une projection orthogonale bien définie, une stabilité sous perturbations à petite échelle, et permet des mesures de courbure et l'inférence géométrique ; de nombreux résultats de reconstruction géométrique exigent une borne inférieure positive de la portée.

Inversion

L'axe médial (ensemble des points avec plusieurs voisins les plus proches) est le complément dans le voisinage tubulaire du domaine d'unicité ; en inversant la notion on repère où la projection échoue ou où les contraintes de courbure sont violées.

Limite

Notion extrinsèque euclidienne s'appliquant à des sous-ensembles de l'espace euclidien (ou à des variétés riemanniennes via plongement isométrique) ; elle exige un contrôle global de la géométrie d'immersion et ne s'applique pas directement aux variétés riemanniennes abstraites sans référer à un espace ambiant euclidien.

Tension sémantique

Souvent comparée aux rayons d'injectivité et de convexité pour des variétés plongées : la portée est extrinsèque et concerne l'unicité du plus proche point, tandis que les rayons d'injectivité/convexité sont notions géodésiques intrinsèques ; les confondre entraîne des erreurs en reconstruction ou analyse de voisinages.

Synthèse

La portée est le plus grand rayon d'un voisinage tubulaire autour d'un sous-ensemble euclidien sur lequel l'application du point le plus proche est à valeur unique : une mesure extrinsèque de régularité de frontière liant bornes de courbure et évitement de l'axe médial à l'existence de projections lisses.