Für eine abgeschlossene Teilmenge A des euklidischen Raums ist die Reach (Reichweite) das Supremum r≥0, so dass jeder Punkt mit Abstand

Prinzip

Quantifiziert extrinsische Regularität durch Ausschluss nahe Selbstannäherung und großer Krümmung: Reach steuert Krümmung, Abstand zur medialen Achse und garantiert eine Rohrumgebung, in der die Projektion auf die Menge Lipschitz (bei glatten Mengen sogar glatt) ist.

Demonstration

Für eine glatt eingebettete Kurve oder Hypersurface mit beschränkter Krümmung ist die Reach wenigstens der Kehrwert der maximalen Hauptkrümmung; für eine Kugel des Radius R in euklidischem Raum ist die Reach gleich R (der Abstand zur medialen Achse ist der Mittelpunkt).

Fehlanwendung

Hausdorff-Nähe oder C^1-Regularität als Ersatz für positive Reach zu verwenden — eine C^1-Kurve kann aufgrund beinahe selbstannähernder Stellen beliebig kleine Reach besitzen — oder Reach mit intrinsischen Injektivitäts- oder Konvexitätsradien zu verwechseln, die anders definiert sind.

Konsequenz

Positive Reach liefert eine Rohrumgebung diffeomorph zum Normalbündel, eine wohldefinierte orthogonale Projektion, Stabilität unter kleinen Störungen und ermöglicht Krümmungsmaße und geometrische Inferenz; viele Rekonstruktionsresultate verlangen eine positive untere Schranke der Reach.

Umkehrung

Die mediale Achse (Menge der Punkte mit mehreren nächsten Nachbarn) ist das Komplement innerhalb der Rohrumgebung des Bereichs der Eindeutigkeit; in der umgekehrten Sicht lokalisiert man, wo Projektionen versagen oder Krümmungsbedingungen gebrochen werden.

Abgrenzung

Ein extrinsischer euklidischer Begriff, der auf Teilmengen des euklidischen Raums (oder auf riemannschen Mannigfaltigkeiten via isometrische Einbettung) anwendbar ist; er verlangt globale Kontrolle der Einbettungsgeometrie und gilt nicht direkt für abstrakte riemannsche Mannigfaltigkeiten ohne Bezug auf einen ambienten euklidischen Raum.

Semantische Spannung

Wird oft mit Injektivitäts- und Konvexitätsradien für eingebettete Mannigfaltigkeiten verglichen: Reach ist extrinsisch und betrifft Einzigartigkeit des nächsten Punktes, während Injektivitäts- und Konvexitätsradien intrinsische geodätische Begriffe sind; Vermischung führt zu Fehlern bei Rekonstruktion oder Nachbarschaftsanalyse.

Synthese

Die Reach ist der größte Radius einer Rohrumgebung um eine euklidische Teilmenge, auf der die nächste-Punkt-Abbildung eindeutig ist: ein extrinsisches Maß der Randregularität, das Krümmungsgrenzen und das Vermeiden der medialen Achse mit der Existenz glatter Projektionen verknüpft.