Para un subconjunto cerrado A del espacio euclidiano, la reach (alcance) es el supremo r≥0 tal que todo punto a distancia menor que r de A tiene un único punto más cercano en A; equivalentemente, el radio del mayor vecindario tubular sobre el que la proyección al punto más cercano está bien definida y es unívoca.

Principio

Cuantifica la regularidad extrínseca al descartar acercamientos próximos y curvaturas muy grandes: la reach controla curvatura, la distancia al eje medial y garantiza un vecindario tubular donde la proyección sobre el conjunto es Lipschitz (y lisa para conjuntos lisos).

Demostración

Para una curva o hypersuperficie incrustada y suave con curvatura acotada, la reach es al menos el inverso de la curvatura principal máxima; para una esfera de radio R incrustada en el espacio euclidiano la reach es R (la distancia al eje medial es el centro).

Aplicación incorrecta

Usar la cercanía en sentido de Hausdorff o la regularidad C^1 como sustituto de reach positiva — una curva C^1 puede tener reach arbitrariamente pequeña por acercamientos casi tangenciales — o confundir reach con radios intrínsecos de inyectividad o convexidad definidos de otra manera.

Consecuencia

Una reach positiva proporciona un vecindario tubular difeomorfo al fibrado normal, una proyección ortogonal bien definida, estabilidad frente a perturbaciones pequeñas y permite medidas de curvatura e inferencia geométrica; muchos resultados de reconstrucción geométrica requieren una cota inferior positiva de reach.

Inversión

El eje medial (conjunto de puntos con múltiples vecinos más cercanos) es el complemento dentro del vecindario tubular del dominio de unicidad; invertida la noción localiza dónde fallan las proyecciones o dónde se violan restricciones de curvatura.

Límite

Concepto extrínseco euclidiano aplicable a subconjuntos del espacio euclidiano (o a variedades riemannianas vía inmersión isométrica); exige control global de la geometría de la inmersión y no se aplica directamente a variedades riemannianas abstractas sin referencia a un espacio ambiente euclidiano.

Tensión semántica

A menudo se compara con radios de inyectividad y convexidad para variedades embebidas: reach es extrínseca y trata la unicidad del punto más cercano, mientras que inyectividad y convexidad son nociones geodésicas intrínsecas; confundirlas produce errores en reconstrucción o análisis de vecindades.

Síntesis

La reach es el mayor radio de un vecindario tubular alrededor de un subconjunto euclidiano en el cual la aplicación del punto más cercano es unívoca: una medida extrínseca de regularidad de la frontera que liga cotas de curvatura y evitación del eje medial con la existencia de proyecciones lisas.