En un point p d'une variété riemannienne, le rayon de convexité est le plus grand r>0 tel que la boule géodésique B(p,r) soit géodésiquement (fortement) convexe : deux points quelconques de B(p,r) sont reliés par une unique géodésique minimisante contenue entièrement dans B(p,r).

Principe

Renforce l'injectivité en exigeant l'unicité des géodésiques minimisantes entre paires de points à l'intérieur de la boule plutôt que la seule propriété de difféomorphisme de l'exponentielle ; il contrôle la convexité géodésique de la boule et l'unicité variationnelle.

Démonstration

Sur la sphère standard de rayon R, le rayon de convexité en un point vaut πR/2 car au-delà de cette distance deux points de la boule peuvent être reliés par différentes géodésiques minimisantes via les régions antipodales ; sur des variétés avec bornes de courbure on peut obtenir des estimations inférieures positives par théorèmes de comparaison.

Mauvaise application

Supposer qu'une petite boule métrique dans des coordonnées est géodésiquement convexe sans vérifier les phénomènes de courbure et de lieu coupé, ou confondre rayon de convexité et rayon d'injectivité alors qu'ils diffèrent en général.

Conséquence

À l'intérieur du rayon de convexité, les géodésiques minimisantes entre deux points quelconques de la boule sont uniques et dépendent régulièrement des extrémités, ce qui permet l'analyse convexe, des propriétés d'unique projection et des simplifications des problèmes variationnels.

Inversion

En dehors de ce rayon la convexité géodésique peut échouer : il peut exister plusieurs minimisantes entre deux points proches et les boules géodésiques peuvent présenter une forme non convexe à cause de points focaux ou du lieu coupé.

Limite

Dépend du point de base et de la courbure/topologie globale ; le rayon de convexité est toujours majoré par le rayon d'injectivité et par quantités déterminées par les points conjugués et la topologie — ce n'est pas une notion extrinsèque et s'applique aux métriques riemanniennes seulement.

Tension sémantique

Étroitement lié mais distinct de l'injectivité et de notions extrinsèques comme la portée ; certains auteurs utilisent des définitions de convexité plus faibles (locale vs forte) et la terminologie doit être vérifiée selon le contexte.

Synthèse

Le rayon de convexité mesure la plus grande boule géodésique autour d'un point dans laquelle les géodésiques minimisantes entre deux points sont uniques et contenues dans la boule, fournissant un domaine contrôlé pour les arguments convexes et variationnels.