En un punto p de una variedad riemanniana, el radio de convexidad es el mayor r>0 tal que la bola geodésica B(p,r) es (fuertemente) geodésicamente convexa: cualesquiera dos puntos en B(p,r) están unidos por una única geodésica minimizadora que permanece completamente en B(p,r).

Principio

Refuerza la inyectividad exigiendo unicidad de geodésicas minimizadoras entre pares de puntos dentro de la bola en lugar de la mera propiedad de difeomorfismo de la exponencial; controla la convexidad geodésica de la bola y las propiedades de unicidad variacional.

Demostración

En la esfera estándar de radio R, el radio de convexidad en un punto es πR/2 porque más allá de esa distancia dos puntos en la bola pueden estar unidos por distintas geodésicas minimizadoras vía regiones antipodales; en variedades con cotas de curvatura se obtienen estimaciones inferiores positivas mediante teoremas de comparación.

Aplicación incorrecta

Suponer que una pequeña bola métrica en coordenadas es geodésicamente convexa sin verificar fenómenos de curvatura y del locus de corte, o confundir radio de convexidad con radio de inyectividad aunque difieren en general.

Consecuencia

Dentro del radio de convexidad las geodésicas minimizadoras entre cualquier par de puntos de la bola son únicas y dependen suavemente de los extremos, lo que permite análisis convexo, propiedades de proyección única y simplificaciones de problemas variacionales.

Inversión

Fuera de este radio la convexidad geodésica puede fallar: puede haber múltiples minimizadores entre dos puntos cercanos y las bolas geodésicas pueden presentar forma no convexa debido a puntos focales o del locus de corte.

Límite

Depende del punto base y de la curvatura/topología global; el radio de convexidad está siempre acotado superiormente por el radio de inyectividad y por cantidades determinadas por puntos conjugados y la topología — no es una noción extrínseca y se aplica sólo a métricas riemannianas.

Tensión semántica

Estrechamente relacionado pero distinto del radio de inyectividad y de nociones extrínsecas como la reach; algunos autores usan definiciones de convexidad más débiles (local versus fuerte), por lo que la terminología debe verificarse en contexto.

Síntesis

El radio de convexidad cuantifica la mayor bola geodésica alrededor de un punto en la que los geodésicos minimizadores entre cualesquiera dos puntos son únicos y permanecen en la bola, proporcionando un dominio controlado para argumentos convexos y variacionales.