Am Punkt p einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist der Konvexitätsradius die größte r>0, sodass die geodätische Kugel B(p,r) (stark) geodätisch konvex ist: je zwei Punkte in B(p,r) werden durch eine eindeutige minimierende Geodäte verbunden, die vollständig in B(p,r) liegt.

Prinzip

Verstärkt Injektivität, indem die paarweise Eindeutigkeit minimierender Geodäten innerhalb der Kugel verlangt wird statt nur der Diffeomorphieeigenschaft der Exponentialabbildung; er steuert die geodätische Konvexität der Kugel und variationelle Eindeutigkeits-Eigenschaften.

Demonstration

Auf der Standardsphäre mit Radius R ist der Konvexitätsradius πR/2, denn darüber hinaus können zwei Punkte in der Kugel durch unterschiedliche minimierende Geodäten via antipodaler Regionen verbunden sein; bei Mannigfaltigkeiten mit Krümmungsgrenzen liefert man positive untere Schranken durch Vergleichssätze.

Fehlanwendung

Annehmen, eine kleine metrische Kugel in Koordinaten sei geodätisch konvex ohne Krümmungs- und Cut-Locus-Phänomene zu prüfen, oder Konvexitätsradius mit Injektivitätsradius verwechseln, obwohl sie allgemein verschieden sind.

Konsequenz

Innerhalb des Konvexitätsradius sind minimierende Geodäten zwischen beliebigen Punktpaaren der Kugel eindeutig und hängen glatt von den Endpunkten ab, was konvexe Analyse, Eindeutigkeitsprojektionen und Vereinfachungen variationaler Probleme ermöglicht.

Umkehrung

Außerhalb dieses Radius kann die geodätische Konvexität versagen: es kann mehrere Minimierer zwischen zwei nahe Punkten geben und geodätische Kugeln können aufgrund von Fokal- oder Cut-Punkten nicht-konvexe Gestalt zeigen.

Abgrenzung

Hängt vom Basispunkt und der globalen Krümmung/Topologie ab; der Konvexitätsradius ist stets durch den Injektivitätsradius nach oben beschränkt und durch Größen, die durch konjugierte Punkte und Topologie bestimmt sind — es ist kein extrinsischer Begriff und gilt nur für riemannsche Metriken.

Semantische Spannung

Eng verwandt, aber verschieden vom Injektivitätsradius und extrinsischen Begriffen wie Reach; manche Autoren verwenden schwächere Konvexitätsbegriffe (lokal vs. stark), daher ist die Terminologie kontextabhängig.

Synthese

Der Konvexitätsradius quantifiziert die größte geodätische Kugel um einen Punkt, in der minimierende Geodäten zwischen beliebigen Punktpaaren eindeutig sind und in der Kugel liegen, und liefert so einen kontrollierten Bereich für konvexe und variationale Argumente.