En un point p d'une variété riemannienne, le plus grand rayon r>0 tel que l'application exponentielle exp_p se restreint en un difféomorphisme de la boule ouverte de rayon r dans T_pM sur son image dans M ; globalement on peut prendre l'infimum sur p pour obtenir le rayon d'injectivité de la variété.

Principe

Mesure la taille d'un voisinage de coordonnées normales sans auto-intersections, points conjugués ni obstructions dues au lieu coupé ; quantifie jusqu'où les géodésiques issues de p restent minimisantes et non dégénérées.

Démonstration

Sur la sphère standard de rayon R, le rayon d'injectivité en tout point vaut πR car les géodésiques minimisent la distance jusqu'au point antipodal ; dans l'espace euclidien le rayon d'injectivité est infini.

Mauvaise application

Confondre rayon d'injectivité et rayon de convexité ou supposer que l'injectivité garantit l'unicité globale des géodésiques ; l'injectivité est une propriété locale de l'application exponentielle et n'implique pas une simplicité métrique globale au-delà de ce rayon.

Conséquence

À l'intérieur du rayon d'injectivité on dispose de géodésiques uniques issues de p vers les points proches, de coordonnées normales lisses et de volumes riemanniens bien comportés exprimés dans ces coordonnées ; de nombreux estimations locales et théorèmes de comparaison requièrent un rayon d'injectivité positif.

Inversion

Le lieu coupé de p est le complément du domaine maximal d'injectivité de exp_p ; en perspective inversée, les points situés à ou au-delà du rayon d'injectivité rencontrent des points conjugués ou plusieurs géodésiques minimisantes.

Limite

Dépend du point p et exige une métrique riemannienne ; les modes d'échec incluent des points conjugués, des auto-intersections de l'application exponentielle et des obstructions topologiques — le rayon d'injectivité est distinct des notions définies purement pour des espaces métriques ou des ensembles immergés.

Tension sémantique

Souvent comparé au rayon de convexité et à la portée : le rayon d'injectivité concerne la propriété de difféomorphisme de l'exponentielle, tandis que le rayon de convexité ajoute l'unicité des géodésiques minimisantes entre deux points quelconques de la boule et la portée est une propriété extrinsèque de projection la plus proche en espace euclidien.

Synthèse

Le rayon d'injectivité est le rayon maximal autour de p pour lequel l'application exponentielle fournit un carton de coordonnées normales à une seule feuille et lisse : il quantifie l'unicité locale des géodésiques et l'absence de singularités issues de points conjugués ou du lieu coupé.