En un punto p de una variedad riemanniana, el radio de inyectividad es el mayor r>0 tal que la exponencial exp_p restringida a la bola abierta de radio r en T_pM es un difeomorfismo sobre su imagen en M; globalmente puede tomarse el ínfimo sobre p para el radio de inyectividad de la variedad.

Principio

Mide el tamaño de un vecindario de coordenadas normales sin autointersecciones, puntos conjugados ni obstrucciones del locus de corte; cuantifica hasta qué distancia las geodésicas desde p permanecen minimizadoras y no degeneradas.

Demostración

En la esfera estándar de radio R, el radio de inyectividad en cualquier punto es πR porque las geodésicas minimizan la distancia hasta el punto antipodal; en el espacio euclidiano el radio de inyectividad es infinito.

Aplicación incorrecta

Confundir radio de inyectividad con radio de convexidad o asumir que la inyectividad garantiza unicidad global de geodésicas; la inyectividad es local respecto de la exponencial y no implica simplicidad métrica global más allá de ese radio.

Consecuencia

Dentro del radio de inyectividad hay geodésicas únicas desde p hacia puntos próximos, coordenadas normales suaves y volúmenes riemannianos bien comportados en esas coordenadas; muchos estimados locales y teoremas de comparación requieren un radio de inyectividad positivo.

Inversión

El locus de corte de p es el complemento del dominio máximo de inyectividad de exp_p; en perspectiva inversa, puntos en o más allá del radio de inyectividad encuentran puntos conjugados o múltiples geodésicas minimizadoras.

Límite

Depende del punto p y requiere una métrica riemanniana; los modos de fallo incluyen puntos conjugados, autointersecciones de la exponencial y obstrucciones topológicas — el radio de inyectividad es distinto de nociones definidas puramente para espacios métricos o conjuntos embebidos.

Tensión semántica

A menudo se compara con el radio de convexidad y la reach; el radio de inyectividad se refiere a la propiedad de difeomorfismo de la exponencial, mientras que el radio de convexidad añade la unicidad de minimizadores entre cualesquiera dos puntos de la bola y la reach es una propiedad extrínseca de punto más cercano en espacio euclidiano.

Síntesis

El radio de inyectividad es el radio máximo alrededor de p para el cual la exponencial define un único y suave sistema de coordenadas normales: cuantifica la unicidad local de geodésicas y la ausencia de singularidades por puntos conjugados o el locus de corte.