Am Punkt p einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist der Injektivitätsradius die größte Zahl r>0, sodass die Exponentialabbildung exp_p auf der offenen Kugel vom Radius r in T_pM ein Diffeomorphismus auf ihr Bild in M ist; global betrachtet nimmt man oft das Infimum über alle p als Injektivitätsradius der Mannigfaltigkeit.

Prinzip

Misst die Größe einer normalen Koordinatenumgebung frei von Selbstüberschneidungen, konjugierten Punkten und Schnitttstellen des Cut-Locus; quantifiziert, wie weit Geodäten ab p minimierend und nicht entartet bleiben.

Demonstration

Auf der Standardsphäre des Radius R ist der Injektivitätsradius an jedem Punkt πR, weil Geodäten bis zum antipodalen Punkt minimieren; im euklidischen Raum ist der Injektivitätsradius unendlich.

Fehlanwendung

Den Injektivitätsradius mit dem Konvexitätsradius verwechseln oder annehmen, Injektivität garantiere die eindeutige globale Fortsetzung von Geodäten; Injektivität ist lokal für die Exponentialabbildung und impliziert keine globale Metriksimplizität darüber hinaus.

Konsequenz

Innerhalb des Injektivitätsradius existieren eindeutige Geodäten von p zu nahegelegenen Punkten, glatte normale Koordinaten und wohlverhaltene riemannsche Volumina in diesen Koordinaten; viele lokale Abschätzungen und Vergleichssätze verwenden einen positiven Injektivitätsradius.

Umkehrung

Das Cut-Locus von p ist das Komplement des maximalen Injektivitätsbereichs von exp_p; umgekehrt führen Punkte in oder jenseits des Injektivitätsradius zu konjugierten Punkten oder mehreren minimierenden Geodäten.

Abgrenzung

Hängt vom Punkt p ab und setzt eine riemannsche Metrik voraus; Ausfallgründe sind konjugierte Punkte, Selbstüberschneidungen der Exponentialabbildung und topologische Hindernisse — der Injektivitätsradius unterscheidet sich von rein metrischen oder eingebetteten Begriffen.

Semantische Spannung

Wird oft mit dem Konvexitätsradius und der Reach verglichen; der Injektivitätsradius betrifft die Diffeomorphieeigenschaft der Exponentialabbildung, während der Konvexitätsradius die Eindeutigkeit von Minimierern innerhalb der Kugel verlangt und die Reach eine extrinsische nächste-Punkt-Eigenschaft im euklidischen Raum ist.

Synthese

Der Injektivitätsradius ist der maximale Radius um p, für den die Exponentialabbildung ein einblattiges glattes normales Koordinatenfenster liefert: er quantifiziert lokale Geodäten-Eindeutigkeit und das Fehlen von Singularitäten durch konjugierte Punkte oder das Cut-Locus.