L'endomorphisme linéaire de l'espace tangent en un point d'une hypersurface immergée défini par A_n(v)= - (∇_v n)_T où n est une normale unitaire choisie et l'indice T désigne la projection tangentielle ; ses valeurs propres sont les courbures principales.

Principe

Représente la différentielle de l'application des normales (Gauss) à un signe près et encode la variation de la normale selon des directions tangentielles ; c'est l'adjoint métrique de la seconde forme fondamentale via II(u,v)=⟨A(u),v⟩.

Démonstration

Pour une surface dans R^3 avec une base tangent orthonormée, on calcule la matrice de A par rapport à cette base à partir des dérivées directionnelles de la normale unitaire ; la diagonalisation donne directement directions et courbures principales.

Mauvaise application

Omettre le signe moins ou la projection tangentielle, de sorte que des composantes normales soient mal interprétées, ou supposer la symétrie sans référence à la métrique riemannienne (la symétrie tient seulement par rapport à la métrique).

Conséquence

Fournit un endomorphisme dont la décomposition spectrale donne courbures et directions principales ; sa trace et son déterminant (selon conventions de signe) produisent les mesures de courbure moyenne et gaussienne.

Inversion

Considérer la courbure uniquement comme une forme bilinéaire (seconde forme fondamentale) supprime la perspective opératorielle ; en revenant à II à partir de A via la métrique on perd l'immédiateté d'une application linéaire agissant sur les champs de vecteurs.

Limite

Défini pour des hypersurfaces immergées (ou relativement à un champ normal choisi pour les sous-variétés de codimension supérieure) et dépend du choix d'orientation/normale ; les conventions de signe varient et doivent être fixées pour comparer les résultats.

Tension sémantique

Tension entre le traitement de la courbure extrinsèque comme opérateur (opérateur de forme) ou comme forme bilinéaire (seconde forme fondamentale) et entre différentes conventions de signe pour la différentielle de Gauss.

Synthèse

L'opérateur de forme est la linéarisation en espace tangent de la variation normale : un endomorphisme dépendant de la métrique dont les données spectrales coïncident avec les courbures principales et dont la relation d'adjoint à la seconde forme fondamentale relie les points de vue opérateur et forme.