Der lineare Endomorphismus des Tangentialraums an einem Punkt einer eingebetteten Hypersurface, definiert durch A_n(v)= - (∇_v n)_T, wobei n eine gewählte Einheitsnormale ist und das T die tangentiale Projektion bezeichnet; seine Eigenwerte sind die Hauptkrümmungen.

Prinzip

Er stellt (bis auf Vorzeichen) die Differentielle der Gaußabbildung dar und kodiert, wie sich die Normale entlang tangentialer Richtungen ändert; er ist der metrische Adjungierte der zweiten Fundamentalform durch II(u,v)=⟨A(u),v⟩.

Demonstration

Für eine Fläche in R^3 mit orthonormiertem Tangentialbasis berechnet man die Matrix von A aus den Richtungsableitungen des Einheitsnormalvektors; die Diagonalisierung dieser Matrix liefert unmittelbar Hauptrichtungen und Hauptkrümmungen.

Fehlanwendung

Das Minuszeichen oder die tangentiale Projektion zu vernachlässigen, sodass normale Komponenten fehlinterpretiert werden, oder Symmetrie anzunehmen ohne Bezug auf die riemannsche Metrik (Symmetrie gilt nur relative zur Metrik).

Konsequenz

Gibt ein Endomorphismus, dessen spektrale Zerlegung Hauptkrümmungen und Hauptrichtungen liefert; Spur und Determinante (bei festgelegter Vorzeichenkonvention) ergeben mittlere und gaußsche Krümmung.

Umkehrung

Die Krümmung nur als bilineare Form (zweite Fundamentalform) zu sehen nimmt die Operatorperspektive weg; die Rückgewinnung von II aus A über die Metrik verliert die Unmittelbarkeit einer auf Vektorfelder wirkenden linearen Abbildung.

Abgrenzung

Definiert für eingebettete Hypersurfaces (oder bzgl. eines gewählten Normalenfeldes bei höherer Kodimension) und abhängig von der Wahl der Orientierung/Normalen; Vorzeichenkonventionen variieren und müssen festgelegt werden.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen der Betrachtung extrinsischer Krümmung als Operator (Gestaltoperator) versus als bilineare Form (zweite Fundamentalform) und zwischen unterschiedlichen Vorzeichenkonventionen für die Differential der Gaußabbildung.

Synthese

Der Gestaltoperator ist die Tangentialraum-Linera­risation der Normalenvariation: ein metrikabhängiger Endomorphismus, dessen Spektraldaten mit den Hauptkrümmungen übereinstimmen und dessen adjungierte Beziehung zur zweiten Fundamentalform Operator- und Formansichten verbindet.