La forme bilinéaire symétrique sur l'espace tangent d'une sous-variété immergée qui associe à deux vecteurs tangents la composante normale de leur seconde dérivée dans l'espace ambiant ; de manière équivalente II_p(u,v)=⟨∇_u v,n⟩ pour une normale unitaire n choisie (selon la convention de signe).

Principe

Elle encode la courbure extrinsèque en mesurant la façon dont le plan tangent se courbe par rapport à la connexion ambiante ; c'est la donnée quadratique qui, avec la première forme fondamentale, détermine la géométrie extrinsèque locale.

Démonstration

Pour une surface dans R^3 avec un repère tangent orthonormé {e1,e2} et une normale unitaire n, on calcule II(ei,ej)=⟨∂_i∂_j X,n⟩ où X est l'immersion ; la matrice symétrique 2×2 obtenue fournit les courbures principales comme valeurs propres.

Mauvaise application

Considérer la seconde forme fondamentale comme un objet intrinsèque indépendant du choix de normale, ou la confondre avec la première forme fondamentale au point de déduire des distances à partir de II plutôt que de la métrique.

Conséquence

La diagonalisation de II par rapport à la métrique donne les directions principales et les courbures principales ; la courbure moyenne et la courbure de Gauss se déduisent de sa trace et de son déterminant par rapport à la première forme fondamentale.

Inversion

La première forme fondamentale est la métrique intrinsèque mesurant longueurs et angles sur la sous-variété ; en revenant à l'intrinsèque on supprime la dépendance aux normales et perd l'information sur le pliement extrinsèque.

Limite

Définie seulement pour des sous-variétés suffisamment régulières immergées dans un espace riemannien ou euclidien et dépend d'une normale locale (ou du fibré normal) ; elle n'est pas définie intrinsèquement sur une variété riemannienne abstraite sans données d'immersion.

Tension sémantique

Étroitement liée à l'opérateur de forme : on peut voir II comme une forme bilinéaire ou, de façon équivalente, comme l'adjoint métrique de l'opérateur de forme ; la confusion provient des conventions de signe et du choix de la représentation (forme vs endomorphisme).

Synthèse

La deuxième forme fondamentale est la mesure bilinéaire symétrique de la courbure extrinsèque : pour une normale donnée, elle associe aux vecteurs tangents les accélérations normales dont les relations métriques avec la première forme fondamentale donnent les courbures principales et gouvernent le pliement de la sous-variété.