La forma bilineal simétrica en el espacio tangente de una subvariedad inmersa que toma dos vectores tangentes y devuelve la componente normal de su segunda derivada en el espacio ambiente; equivalente II_p(u,v)=⟨∇_u v,n⟩ para una normal unitaria n elegida (según convención de signos).

Principio

Codifica la curvatura extrínseca midiendo cómo se dobla el plano tangente respecto a la conexión ambiente; es el dato cuadrático que, junto con la primera forma fundamental, determina la geometría extrínseca local.

Demostración

Para una superficie en R^3 con una base tangente ortonormal {e1,e2} y normal unitaria n, se calcula II(ei,ej)=⟨∂_i∂_j X,n⟩ donde X es la inmersión; la matriz simétrica 2×2 resultante da las curvaturas principales como valores propios.

Aplicación incorrecta

Tratar la segunda forma fundamental como un objeto intrínseco independiente de la elección de la normal, o confundirla con la primera forma fundamental de modo que se deduzcan distancias a partir de II en lugar de la métrica.

Consecuencia

Diagonalizando la segunda forma fundamental respecto de la métrica se obtienen las direcciones principales y las curvaturas principales; la curvatura media y la curvatura de Gauss se obtienen de su traza y determinante respecto de la primera forma fundamental.

Inversión

La primera forma fundamental es la métrica intrínseca que mide longitudes y ángulos en la subvariedad; al invertir a la perspectiva intrínseca se elimina la dependencia de las normales y se pierde la información sobre el doblado extrínseco.

Límite

Definida sólo para subvariedades inmersas suficientemente suaves en un espacio riemanniano o euclidiano y depende de una normal local (o del fibrado normal); no está definida intrínsecamente en una variedad riemanniana abstracta sin datos de inmersión.

Tensión semántica

Estrechamente relacionada con el operador de forma: II puede ser vista como una forma bilineal o, de modo equivalente, como el adjunto métrico del operador de forma; la confusión procede de las convenciones de signo y de si se trata la curvatura como forma o como endomorfismo.

Síntesis

La segunda forma fundamental es la medida bilineal simétrica de la curvatura extrínseca: dada una normal, empareja vectores tangentes para producir aceleraciones normales cuyas relaciones métricas con la primera forma fundamental determinan las curvaturas principales y gobiernan el doblado de la subvariedad.