Definition
Die symmetrische bilineare Form auf dem Tangentialraum einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit, die zwei Tangentialvektoren auf die normale Komponente ihrer zweiten Ableitung im umgebenden Raum abbildet; äquivalent: II_p(u,v)=⟨∇_u v,n⟩ für eine gewählte Einheitsnormale n (je nach Vorzeichenkonvention).
Prinzip
Prinzip
Sie kodiert die extrinsische Krümmung, indem sie misst, wie die Tangentialebene relativ zur Verbindung der Umgebung abweicht; zusammen mit der ersten Fundamentalform bestimmt sie die lokale extrinsische Geometrie.
Demonstration
Demonstration
Für eine Fläche im euklidischen R^3 mit orthonormiertem Tangentialrahmen {e1,e2} und Einheitsnormalvektor n berechnet man II(ei,ej)=⟨∂_i∂_j X,n⟩ für die Einbettung X; die entstehende symmetrische 2×2-Matrix liefert die Hauptkrümmungen als Eigenwerte.
Fehlanwendung
Fehlanwendung
Die zweite Fundamentalform als intrinsisches Objekt unabhängig von der Normalen auffassen oder sie mit der ersten Fundamentalform verwechseln, sodass man daraus Abstände statt aus der Metrik schließen würde.
Konsequenz
Konsequenz
Die Diagonalisierung der zweiten Fundamentalform relativ zur Metrik liefert Hauptrichtungen und Hauptkrümmungen; Mittlere Krümmung und Gaußsche Krümmung ergeben sich aus Spur und Determinante bezüglich der ersten Fundamentalform.
Umkehrung
Umkehrung
Die erste Fundamentalform ist die intrinsische Metrik, die Längen und Winkel auf der Untermannigfaltigkeit misst; beim Übergang zur intrinsischen Sicht verschwindet die Abhängigkeit von Normalen und die extrinsische Krümmungsinformation geht verloren.
Abgrenzung
Abgrenzung
Definiert nur für genügend glatte eingebettete Untermannigfaltigkeiten in einem riemannschen oder euklidischen Umgebung und abhängig von einer lokalen Normalen (oder dem Normalbündel); nicht intrinsisch auf einer abstrakten riemannschen Mannigfaltigkeit ohne Einbettungsdaten definiert.
Semantische Spannung
Semantische Spannung
Eng verbunden mit dem Gestaltoperator: II kann als bilineare Form oder äquivalent als metrischer Adjungierter des Gestaltoperators betrachtet werden; Verwirrung entsteht durch Vorzeichenkonventionen und die Wahl der Darstellung (Form vs. Endomorphismus).
Synthese
Synthese
Die zweite Fundamentalform ist die symmetrische bilineare Messung der extrinsischen Krümmung: für eine gegebene Normale paart sie Tangentialvektoren zu normalen Beschleunigungen, deren metrische Beziehungen zur ersten Fundamentalform Hauptkrümmungen liefern und das Biegen der Untermannigfaltigkeit steuern.