Sur une variété riemannienne, la courbure sectionnelle K(σ) d'un plan tangent bidimensionnel σ est le nombre obtenu en évaluant le tenseur de courbure de Riemann sur une base orthonormée de σ et en normalisant ; elle mesure la courbure gaussienne de la surface formée par les géodésiques tangentes à σ.

Principe

La courbure sectionnelle extrait la courbure associée à un plan tangent de dimension deux et est déterminée algébriquement par le tenseur de courbure de Riemann ; elle contrôle la manière dont les géodésiques initialement tangentes au plan se dispersent ou se focalisent.

Démonstration

Sur la sphère ronde de rayon r, chaque plan de dimension deux a une courbure sectionnelle constante K = 1/r^2 ; les triangles géodésiques sur la sphère ont une somme des angles supérieure à π, en accord avec une courbure sectionnelle positive.

Mauvaise application

Supposer que connaître la courbure sectionnelle pour un nombre fini de plans suffit à déterminer complètement le tenseur de courbure en dimensions supérieures à trois est faux ; l'information directionnelle peut ne pas permettre de reconstruire toutes les composantes du tenseur de Riemann.

Conséquence

Le signe et les bornes de la courbure sectionnelle impliquent des résultats géométriques et topologiques forts (théorèmes de comparaison, contrôle des points conjugués, phénomènes de rigidité) ; une positivité ou négativité uniforme a des conséquences globales majeures.

Inversion

La platitude est l'inversion : une courbure sectionnelle nulle pour tout plan caractérise les variétés localement isométriques à l'espace euclidien, inversant ainsi les phénomènes de focalisation/défocalisation des géodésiques.

Limite

Définie seulement pour des plans bidimensionnels non dégénérés de l'espace tangent d'une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne ; inapplicable sans métrique, elle échoue pour des métriques dégénérées ou singulières ; en signature lorentzienne on distingue courbures sectionnelles timelike, spacelike et null.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la courbure sectionnelle comme invariant directionnel fin et les courbures de Ricci ou scalaire qui moyennent sur les directions ; les résultats fondés sur des bornes sectionnelles sont plus forts mais plus difficiles à vérifier à partir d'invariants plus grossiers.

Synthèse

La courbure sectionnelle est la courbure gaussienne directionnelle attachée à un plan tangent, calculée à partir du tenseur de Riemann ; elle gouverne le comportement géodésique local et alimente des notions moyennées (Ricci, scalaire) tout en conservant l'information directionnelle la plus détaillée.