Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist die Schnittkrümmung K(σ) einer zweidimensionalen Tangentialebene σ die Zahl, die man erhält, indem man den Riemannschen Krümmungstensor auf einer orthonormalen Basis von σ auswertet und normiert; sie misst die Gaußsche Krümmung der durch geodätische Kurven tangential zu σ erzeugten Fläche.

Prinzip

Schnittkrümmung entnimmt die Krümmung, die einer spezifischen 2-Ebene im Tangentialraum zugeordnet ist, und wird algebraisch durch den Riemannschen Tensor bestimmt; sie steuert, wie sich Geodäten, die anfangs in dieser Ebene liegen, auseinander- oder zusammenlaufen.

Demonstration

Auf der runden n-Sphäre mit Radius r hat jede 2-Ebene konstante Schnittkrümmung K = 1/r^2; geodätische Dreiecke auf der Sphäre weisen Winkelsummen > π auf, was mit positiver Schnittkrümmung übereinstimmt.

Fehlanwendung

Zu behaupten, die Kenntnis der Schnittkrümmung in einer endlichen Anzahl von Ebenen reiche zur Bestimmung des gesamten Krümmungstensors in Dimensionen > 3, ist falsch; richtungsbezogene Informationen reichen möglicherweise nicht zur Rekonstruktion aller Komponenten des Riemannschen Tensors.

Konsequenz

Vorzeichen und Schranken der Schnittkrümmung führen zu starken geometrischen und topologischen Resultaten (Vergleichssätze, Kontrolle konjugierter Punkte, Steifigkeitsphänomene); gleichmäßige Positiv- oder Negativwerte haben tiefgreifende globale Folgen.

Umkehrung

Flachheit ist die Umkehrung: Verschwindende Schnittkrümmung in jeder Ebene kennzeichnet lokal euklidisch isometrische Mannigfaltigkeiten und kehrt somit die Fokussierungs-/Entfokussierungsphänomene von Geodäten um.

Abgrenzung

Definiert nur für nichtdegenerierte zweidimensionale Ebenen im Tangentialraum einer riemannschen oder pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit; nicht anwendbar ohne Metrik, versagt bei degenerierten oder singulären Metriken; in lorentzscher Signatur unterscheidet man zeitartige, raumartige und null Schnittkrümmungen.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen der Schnittkrümmung als richtungsfeinem Invariant und Ricci- bzw. Skalarmetriken, die über Richtungen mitteln; Aussagen auf Basis von Schnittkrümmungsgrenzen sind stärker, aber schwerer aus gröberen Invarianten abzuleiten.

Synthese

Die Schnittkrümmung ist die richtungsbezogene Gaußsche Krümmung, die einer Tangentialebene zugeordnet wird und aus dem Riemannschen Tensor berechnet wird; sie bestimmt das lokale geodätische Verhalten und führt zu gemittelten Größen (Ricci, Skalar), während sie die detaillierteste richtungsbezogene Krümmungsinformation enthält.