Definición
En una variedad Riemanniana, la curvatura seccional K(σ) de un plano tangente bidimensional σ es el número obtenido al evaluar el tensor de curvatura de Riemann sobre una base ortonormal de σ y normalizar; mide la curvatura gaussiana de la superficie generada por las geodésicas tangentes a σ.
Principio
Principio
La curvatura seccional extrae la curvatura asociada a un plano tangente concreto y viene determinada algebraicamente por el tensor de curvatura de Riemann; controla cómo las geodésicas inicialmente tangentes al plano se dispersan o focalizan.
Demostración
Demostración
En la n-esfera de radio r cada 2-plano tiene curvatura seccional constante K = 1/r^2; los triángulos geodésicos en la esfera presentan sumas de ángulos mayores que π coherentes con curvatura seccional positiva.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Suponer que conocer la curvatura seccional en un número finito de planos basta para determinar totalmente el tensor de curvatura en dimensiones mayores que tres es incorrecto; la información direccional puede no reconstruir todas las componentes del tensor de Riemann.
Consecuencia
Consecuencia
El signo y las cotas de la curvatura seccional implican resultados geométricos y topológicos fuertes (teoremas de comparación, control de puntos conjugados, fenómenos de rigidez); la positividad o negatividad uniforme tiene implicaciones globales profundas.
Inversión
Inversión
La planitud es la inversión: la curvatura seccional nula en todo plano caracteriza variedades localmente isométricas al espacio euclidiano, invirtiendo los fenómenos de focalización/defocalización de geodésicas.
Límite
Límite
Se define sólo para planos bidimensionales no degenerados en el espacio tangente de una variedad Riemanniana o pseudo-Riemanniana; no es aplicable sin métrica, falla para métricas degeneradas o singulares, y en firma lorentziana se distinguen curvaturas seccionales temporales, espaciales y nulas.
Tensión semántica
Tensión semántica
Existe tensión entre la curvatura seccional como invariante direccional y los curvaturas de Ricci o escalar que promedian direcciones; los resultados que usan cotas seccionales son más fuertes pero más difíciles de verificar a partir de invariantes más groseros.
Síntesis
Síntesis
La curvatura seccional es la curvatura gaussiana direccional asociada a un plano tangente, calculada a partir del tensor de Riemann; gobierna el comportamiento geodésico local y alimenta nociones promediadas (Ricci, escalar) mientras conserva la información direccional más detallada.