Cas unidimensionnel du flux de courbure moyenne pour des courbes planaires immergées où chaque point se déplace selon la normale entrante à la vitesse égale à la courbure (signée), entraînant une diminution de la longueur et souvent une convexefication ; abrégé CSF.

Principe

Le CSF est le flux gradient de la longueur de la courbe : les points se déplacent pour diminuer localement la longueur, de sorte que le mouvement piloté par la courbure lisse les petites irrégularités et tend à arrondir les courbes convexes tout en préservant l'immersion jusqu'à extinction ou singularité.

Démonstration

Un cercle plan se contracte de façon homothétique jusqu'à un point sous CSF ; toute courbe lisse fermée et plongée dans le plan devient convexe en temps fini puis s'effondre en un point rond, conformément au phénomène de Gage–Hamilton–Grayson pour le plan.

Mauvaise application

Supposer que les résultats pour des courbes fermées plongées dans le plan s'étendent sans modification aux courbes ouvertes, non planaires ou de codimension supérieure sans vérifier les conditions aux limites ou de nouvelles instabilités.

Conséquence

Une application correcte donne une diminution monotone de la longueur, un lissage et un comportement d'extinction pour les courbes fermées plongées, ainsi que des bornes de courbure explicites ; c'est une simplification géométrique canonique pour les courbes planaires.

Inversion

Une expansion dirigée par la courbure vers l'extérieur (flux de courbure inverse) peut agrandir les courbes ou provoquer un mouvement singulier vers l'extérieur ; l'inversion temporelle du CSF est généralement mal posée et accroît rapidement la longueur.

Limite

Formulé pour des courbes dans le plan (ou de codimension un) et pour des courbes fermées plongées ; exclut les flux d'ordre quatre comme la diffusion de courbe, les lois de vitesse anisotropes ou les applications entre variétés sans structure supplémentaire.

Tension sémantique

La tension apparaît entre CSF et des flux géométriques d'ordre supérieur (diffusion de courbe) ou des flux extrinsèques en codimension supérieure : CSF est d'ordre deux et dépend fortement de l'immersion planaire, alors que d'autres flux préservent des invariants ou une régularité différente.

Synthèse

Le flux de raccourcissement de courbes est l'évolution unidimensionnelle, plane et guidée par la courbure qui diminue la longueur en déplaçant les points selon la normale à la vitesse de la courbure, entraînant la convexefication et l'effondrement canonique des courbes fermées plongées.