Die eindimensionale Variante des Flusses der mittleren Krümmung für eingebettete ebene Kurven, bei der jeder Punkt in die innere Normalenrichtung mit der Geschwindigkeit der skalaren (vorzeichenbehafteten) Krümmung bewegt wird, was zur Längenabnahme und häufig zur Konvexität führt; abgekürzt CSF.

Prinzip

CSF ist der Gradientenfluss der Kurvenlänge: Punkte bewegen sich, um lokal die Länge zu verringern, sodass krümmungsgetriebene Bewegung kleinräumige Merkmale glättet und konvexe Kurven abrundet, während die Einbettung bis zur Auslöschung erhalten bleibt.

Demonstration

Ein kreisförmiger Planarkreis schrumpft unter CSF homothetisch zu einem Punkt; jede glatte geschlossene eingebettete Planarkurve wird in endlicher Zeit konvex und kollabiert dann zu einem runden Punkt, gemäß dem Gage–Hamilton–Grayson-Resultat im Flächenfall.

Fehlanwendung

Zu glauben, dass Ergebnisse für geschlossene eingebettete Kurven in der Ebene unverändert auf offene Kurven, nicht-ebene Kurven oder höhere Kodimensionen übertragbar sind, ohne Randbedingungen oder neue Instabilitäten zu prüfen.

Konsequenz

Richtige Anwendung bewirkt monotone Längenabnahme, Glättung und schließlich Auslöschung für geschlossene eingebettete Kurven sowie explizite Krümmungsabschätzungen; CSF liefert eine kanonische geometrische Vereinfachung für ebene Kurven.

Umkehrung

Ein nach außen gerichteter, krümmungsgetriebener Expansionsfluss (inverse Krümmung) kann Kurven vergrößern oder singuläres äußeres Verhalten erzeugen; die zeitliche Umkehr von CSF ist meist schlecht gestellt.

Abgrenzung

Formuliert für Kurven in der Ebene (oder Kodimension eins) und für geschlossene eingebettete Kurven; schließt vierte-Ordnung-Flüsse wie Kurvendiffusion, anisotrope Geschwindigkeitsgesetze oder Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten ohne Zusatzstruktur aus.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen CSF und höherordnigen geometrischen Flüssen oder extrinsischen Flüssen in größerer Kodimension: CSF ist zweiter Ordnung und stark an die planare Einbettung gebunden, während andere Flüsse andere Invarianten oder Regularitätsmechanismen bewahren.

Synthese

Der Fluss zur Verkürzung von Kurven ist die plane eindimensionale mittlere Krümmungsentwicklung, die die Kurvenlänge durch Bewegung entlang der Normalen mit der Krümmungsgeschwindigkeit verringert und so Konvexierung sowie den kanonischen Kollaps geschlossener eingebetteter Kurven bewirkt.