La instancia unidimensional del flujo de curvatura media para curvas planas embebidas en la que cada punto se desplaza en la normal interior a velocidad igual a la curvatura escalar (con signo), provocando disminución de longitud y con frecuencia convexificación; abreviado CSF.

Principio

CSF es el flujo de gradiente de la longitud de la curva: los puntos se mueven para disminuir localmente la longitud, de modo que el movimiento gobernado por la curvatura suaviza las pequeñas irregularidades y tiende a redondear curvas convexas mientras preserva la embebibilidad hasta la extinción o singularidad.

Demostración

Un círculo plano se contrae homotéticamente hasta un punto bajo CSF; cualquier curva cerrada suave y embebida en el plano se vuelve convexa en tiempo finito y luego colapsa a un punto redondo, conforme al fenómeno de Gage–Hamilton–Grayson en el plano.

Aplicación incorrecta

Suponer que los resultados para curvas cerradas embebidas en el plano se extienden sin cambios a curvas abiertas, no planas o de mayor codimensión sin verificar condiciones de contorno o nuevos mecanismos de inestabilidad.

Consecuencia

Aplicado correctamente, produce disminución monótona de la longitud, suavizado y extinción eventual para curvas cerradas embebidas, y cotas explícitas de curvatura; proporciona una simplificación geométrica canónica para curvas planas.

Inversión

Un flujo de expansión hacia afuera gobernado por la curvatura (flujo de curvatura inversa) puede aumentar curvas o generar movimiento singular hacia afuera; la inversión temporal del CSF suele estar mal planteada.

Límite

Formulado para curvas en el plano (o de codimensión uno) y para curvas cerradas embebidas; excluye flujos de orden cuatro como la difusión de curvas, leyes de velocidad anisotrópicas o aplicaciones entre variedades sin estructura adicional.

Tensión semántica

Surge tensión entre CSF y flujos geométricos de orden superior o flujos extrínsecos en mayor codimensión: CSF es de segundo orden y está ligado a la embebibilidad planar, mientras que otros flujos preservan invariantes o regularidad distinta.

Síntesis

El flujo de acortamiento de curvas es la evolución plana unidimensional por curvatura que disminuye la longitud moviendo puntos según la normal a velocidad igual a la curvatura, conduciendo a la convexificación y al colapso canónico de curvas cerradas embebidas.