Un sous-ensemble C d'un espace affine ou d'un espace vectoriel tel que, pour toute paire de points x,y dans C, tout le segment {(1 - t)x + t y : t ∈ [0,1]} soit contenu dans C.

Principe

Fermeture par combinaisons convexes : si x et y appartiennent à l'ensemble alors toute combinaison convexe λx + (1−λ)y avec λ dans [0,1] appartient aussi à l'ensemble ; autrement dit, l'ensemble contient le segment droit reliant deux de ses points.

Démonstration

En espace euclidien, exemples typiques : boules euclidiennes, simplexes, polyèdres définis comme intersections de demi-espaces fermés, et l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points. Par exemple, l'enveloppe convexe de trois points non colinéaires de R2 est le triangle formé par ces points.

Mauvaise application

Qualifier de convexe une région étoilée ou simplement connexe simplement parce qu'elle contient des segments partant d'un point intérieur vers d'autres points ; ou confondre convexité géodésique sur une variété courbe avec la convexité ordinaire sans précision.

Conséquence

Correctement utilisée, la convexité entraîne des résultats structuraux : un minimum local d'une fonction convexe est global, les théorèmes de séparation s'appliquent en dimension finie, des descriptions par points extrêmes existent, et les problèmes d'optimisation bénéficient d'unicité et de stabilité.

Inversion

Un ensemble non convexe ne contient pas certains segments entre ses points ; l'union de deux boules convexes disjointes illustre le comportement inverse (l'union n'est pas convexe).

Limite

Se rapporte à des sous-ensembles d'espaces affines ou vectoriels munis de leur structure linéaire ; n'inclut pas a priori la convexité géodésique sur les variétés riemanniennes ou la convexité relative à des structures non linéaires, sauf mention explicite.

Tension sémantique

Termes proches : fonction convexe, enveloppe convexe et convexité géodésique ; tous partagent l'idée d'absence de creux mais diffèrent selon qu'il s'agit d'un ensemble, d'une fonction ou d'une dépendance à un système de trajectoires.

Synthèse

Un ensemble convexe est un ensemble d'un espace affine ou vectoriel stable par combinaisons convexes : il contient le segment droit entre ses points, propriété fondamentale pour la séparation, les points extrêmes et l'optimisation linéaire.