Eine Teilmenge C eines affinen Raums oder Vektorraums derart, dass für jedes Paar von Punkten x,y in C das gesamte Liniensegment {(1 - t)x + t y : t ∈ [0,1]} in C liegt.

Prinzip

Abgeschlossenheit unter konvexen Linearkombinationen: Stimmen x und y überein, so gehört jede konvexe Kombination λx + (1−λ)y mit λ ∈ [0,1] ebenfalls zur Menge; äquivalent dazu: die Menge enthält das gerade Intervall zwischen zwei beliebigen Punkten.

Demonstration

Beispiele im euklidischen Raum sind euklidische Kugeln, Simplexe, Polyeder als Schnitte endlicher Halbräume und die konvexe Hülle einer endlichen Punktmenge. Die konvexe Hülle von drei nicht kollinearen Punkten in R2 ist zum Beispiel das Dreieck mit diesen Ecken.

Fehlanwendung

Die Verwechslung mit sternförmigen oder einfach zusammenhängenden Gebieten nur weil sie von einem inneren Punkt aus Segmente enthalten; oder das ungerechtfertigte Anwenden des Begriffs ohne Unterscheidung zu geodätischer Konvexität auf Mannigfaltigkeiten.

Konsequenz

Korrekt angewendet liefert Konvexität viele Folgerungen: lokale Minima konvexer Funktionen sind global, Trennungssätze gelten in endlichdimensionalen Räumen, Charakterisierungen durch Extrempunkte sind möglich und Optimierungsprobleme profitieren von Eindeutigkeit und Stabilität.

Umkehrung

Eine nicht-konvexe Menge enthält nicht ganze Segmente zwischen zwei ihrer Punkte; zum Beispiel ist die Vereinigung zweier disjunkter konvexer Kugeln nicht konvex.

Abgrenzung

Bezieht sich auf Teilmengen affiner oder Vektoräume mit üblicher linearer Struktur; schließt nicht automatisch geodätische Konvexität auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten oder Konvexität relativ zu nichtlinearen Strukturen ein, sofern nicht gesondert angegeben.

Semantische Spannung

Nahe Begriffe sind konvexe Funktion, konvexe Hülle und geodätische Konvexität; sie teilen die Idee des ‚keine Einkerbungen‘, unterscheiden sich jedoch darin, ob es sich um Mengen, Funktionen oder von Pfaden abhängige Begriffe handelt.

Synthese

Eine konvexe Menge ist in einem affinen oder Vektorraum durch Stabilität gegenüber konvexen Linearkombinationen charakterisiert: sie enthält das gerade Segment zwischen beliebigen Punkten, eine zentrale Eigenschaft für Trennung, Extremalität und lineare Optimierung.