Un subconjunto C de un espacio afín o de un espacio vectorial tal que para cada par de puntos x,y en C todo el segmento {(1 - t)x + t y : t ∈ [0,1]} está contenido en C.

Principio

Cerradura bajo combinaciones convexas: si x e y pertenecen al conjunto, entonces cualquier combinación convexa λx + (1−λ)y con λ en [0,1] también pertenece; equivalente a que el conjunto contiene el segmento rectilíneo entre dos puntos cualesquiera.

Demostración

En el espacio euclidiano, ejemplos son bolas euclidianas, símplex, politopos definidos como intersección de semiespacios cerrados y la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos. La envolvente convexa de tres puntos no colineales en R2 es el triángulo determinado por ellos.

Aplicación incorrecta

Llamar convexo a un dominio estrella o simplemente conectado solo porque contiene segmentos desde un punto interior hacia otros; o confundir la convexidad geodésica en una variedad curva con la convexidad ordinaria sin aclararlo.

Consecuencia

Bien aplicada, la convexidad proporciona resultados estructurales: mínimos locales de funciones convexas son globales, se aplican teoremas de separación en dimensiones finitas, existen descripciones por puntos extremos y los problemas de optimización se simplifican por unicidad y estabilidad.

Inversión

Un conjunto no convexo no contiene algunos segmentos entre dos de sus puntos; por ejemplo, la unión de dos bolas convexas disjuntas no es convexa.

Límite

Se refiere a subconjuntos de espacios afines o vectoriales con su estructura lineal habitual; no incluye por sí sola nociones como convexidad geodésica en variedades riemannianas o convexidad relativa a estructuras no lineales salvo que se diga explícitamente.

Tensión semántica

Términos cercanos: función convexa, envolvente convexa y convexidad geodésica; comparten la idea de ‘sin hendiduras’ pero difieren en si el objeto es un conjunto, una función o depende de un sistema de trayectorias.

Síntesis

Un conjunto convexo es un subconjunto de un espacio afín o vectorial estable por combinaciones convexas: contiene el segmento recto entre sus puntos, propiedad básica que sustenta separación, extremos y teoría de optimización en contextos lineales.