Un cône convexe est un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel V tel que pour tout x,y dans C et tous scalaires non négatifs α,β ≥ 0, la combinaison linéaire αx + βy appartient à C ; autrement dit C est stable par combinaisons linéaires à coefficients non négatifs et contient le vecteur nul.

Principe

La règle organisatrice est la stabilité par multiplication par des scalaires non négatifs et par addition, ce qui distingue les cônes des ensembles convexes généraux par l'homogénéité unilatérale autorisée.

Démonstration

Exemple : dans R^n l'orthant positif {x ∈ R^n : x_i ≥ 0 pour tout i} est un cône convexe ; de manière plus générale, le cône engendré par des vecteurs v1,...,vk est {∑_i λ_i v_i : λ_i ≥ 0}.

Mauvaise application

Considérer comme cône convexe un ensemble qui est stable par combinaisons convexes mais pas par dilatations non négatives (par exemple un convexe compact sans rayons) est une erreur.

Conséquence

Bien identifié, un cône convexe permet d'utiliser la dualité des cônes, des théorèmes de séparation adaptés et des arguments de mise à l'échelle homogène ; les rayons extrêmes et le treillis des faces deviennent des invariants pertinents.

Inversion

L'inverse est un sous-espace vectoriel : un ensemble stable par tous les scalaires réels (y compris négatifs) où l'homogénéité bilatérale permet l'annulation et la mise à l'échelle des deux côtés, supprimant l'ordre spécifique au cône.

Limite

Portée : espaces vectoriels réels (souvent de dimension finie) ; exclut les ensembles stables seulement par combinaisons convexes mais non par mise à l'échelle non négative, et ne nécessite pas d'être pointé ou fermé sauf précision contraire.

Tension sémantique

Tension sémantique entre « cône convexe » et « ensemble convexe » : la convexité est partagée, mais le cône impose l'homogénéité non négative ; les confondre masque la structure non bornée en rayons et les propriétés du cône dual.

Synthèse

Un cône convexe est un ensemble convexe muni d'une homogénéité à sens unique : stable par addition et par multiplication par scalaires ≥ 0, il induit un ordre partiel naturel, engendre des rayons et permet des constructions duales propres aux combinaisons non négatives.