Un cono convexo es un subconjunto C de un espacio vectorial real V tal que para cualesquiera x,y en C y escalares no negativos α,β ≥ 0, la combinación lineal αx + βy pertenece a C; equivalentemente, C está cerrado bajo combinaciones lineales con coeficientes no negativos y contiene el vector cero.

Principio

La regla organizadora es la clausura bajo escalado por escalares no negativos y la suma, lo que distingue a los conos de conjuntos convexos generales por la homogeneidad unilateral permitida.

Demostración

Ejemplo: en R^n el ortante positivo {x ∈ R^n : x_i ≥ 0 para todo i} es un cono convexo; más en general, el cono generado por vectores v1,...,vk es {∑_i λ_i v_i : λ_i ≥ 0}.

Aplicación incorrecta

Tratar como cono convexo a un conjunto que solo es estable bajo combinaciones convexas pero no bajo escalado no negativo (por ejemplo un convexo compacto sin rayos) es incorrecto.

Consecuencia

Cuando se identifica correctamente, un cono convexo permite emplear dualidad de conos, teoremas de separación adaptados y argumentos de escalado homogéneo; los rayos extremos y la retícula de caras son invariantes relevantes.

Inversión

La inversión es un subespacio lineal: un conjunto cerrado bajo todos los escalares reales (incluidos los negativos) donde la homogeneidad bilateral permite cancelación y escalado en ambos sentidos, eliminando el orden propio del cono.

Límite

Ámbito: espacios vectoriales reales (a menudo de dimensión finita); excluye conjuntos cerrados solo bajo combinaciones convexas pero no bajo escalado no negativo, y no exige ser punteado o cerrado salvo que se especifique.

Tensión semántica

Tensión semántica entre 'cono convexo' y 'conjunto convexo': ambos comparten convexidad, pero el cono impone homogeneidad no negativa; confundirlos oculta la estructura de rayos no acotados y las propiedades del cono dual.

Síntesis

Un cono convexo es un conjunto convexo con homogeneidad unidireccional: cerrado por suma y por multiplicación por escalares ≥ 0, induce un orden parcial natural, genera rayos y permite construcciones duales propias de combinaciones no negativas.