L'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points affinement indépendants ; un n-simplexe est l'enveloppe convexe de n+1 points affinement indépendants et constitue le polytope n-dimensionnel le plus simple.

Principe

Le simplexe est le bloc convexe minimal en une dimension donnée : tout point du simplexe admet des coordonnées barycentriques uniques par rapport aux sommets, et toute application affine est déterminée par son action sur les sommets.

Démonstration

Le simplexe standard en dimension n dans R^{n+1} est {x ∈ R^{n+1} : x_i ≥ 0, Σ_i x_i = 1}. En basses dimensions ceci donne un segment (1-simplexe), un triangle (2-simplexe) et un tétraèdre (3-simplexe).

Mauvaise application

Qualifier d'un simplexe l'enveloppe convexe de n+1 points sans vérifier l'indépendance affine (si dépendants l'enveloppe a dimension inférieure), ou confondre les simplexes géométriques avec des cellules d'un complexe simplicial abstrait collées de façon non affine.

Conséquence

Les simplexes fournissent des coordonnées barycentriques, des formules simples de volume et d'orientation, et servent d'atomes pour les triangulations utilisées pour calculer l'homologie, intégrer et approcher numériquement des variétés.

Inversion

Si les points définissants sont affinement dépendants, il n'existe pas de n-simplexe mais un polytope dégénéré de dimension inférieure ; inverser l'idée conduit à des polytopes généraux requérant davantage de sommets et de faces.

Limite

La notion présuppose un espace affine ambiant et l'indépendance affine ; elle exclut les analogues non convexes ou courbes (par ex. simplexes géodésiques en géométrie courbe qui exigent une structure supplémentaire) et les simplexes purement combinatoires sans géométrie.

Tension sémantique

Tension entre le simplexe géométrique (un ensemble convexe réel avec coordonnées barycentriques) et l'idée combinatoire d'un simplexe dans un complexe simplicial où un « simplexe » peut être un ensemble abstrait de sommets sans plongement.

Synthèse

Un simplexe est le polytope convexe unique déterminé par des sommets affinement indépendants ; comme cellule affine élémentaire il fonde les triangulations, les représentations coordonnées et les approximations linéaires locales de la géométrie.