Definición
La envolvente convexa de un conjunto finito de puntos afínmente independientes; un n-simplex es la envolvente convexa de n+1 puntos afínmente independientes y es el politopo n-dimensional más simple.
Principio
Principio
Un simplexo es el bloque convexo mínimo en una dimensión dada: todo punto del simplexo tiene coordenadas baricéntricas únicas respecto a sus vértices, y toda aplicación afín queda determinada por su acción sobre los vértices.
Demostración
Demostración
El simplexo estándar en R^{n+1} es {x ∈ R^{n+1} : x_i ≥ 0, Σ_i x_i = 1}. En dimensiones bajas esto produce un segmento (1-simplex), un triángulo (2-simplex) y un tetraedro (3-simplex).
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Llamar simplexo a la envolvente convexa de n+1 puntos sin comprobar la independencia afín (si son dependientes la envolvente tiene dimensión menor), o confundir simplejos geométricos con celdas de un complejo simplicial que pueden estar pegadas no afínmente.
Consecuencia
Consecuencia
Los simplejos proporcionan coordenadas baricéntricas, fórmulas sencillas para volumen y orientación, y son los átomos de las triangulaciones usadas para calcular homología, integrar y aproximar numéricamente variedades.
Inversión
Inversión
Si los puntos definidores son afínmente dependientes no existe un n-simplex sino un politopo degenerado de dimensión inferior; invertir la idea conduce a politopos generales que requieren más vértices y caras.
Límite
Límite
La noción presupone un espacio afín ambiente y la independencia afín; excluye análogos no convexos o curvos (p. ej. simplejos geodésicos en espacios curvos) y simplejos puramente combinatorios sin geometría.
Tensión semántica
Tensión semántica
Existe tensión entre el simplexo geométrico (un conjunto convexo real con coordenadas baricéntricas) y la noción combinatoria de simplexo en un complejo simplicial, donde un 'simplexo' puede ser un conjunto abstracto de vértices sin incrustación.
Síntesis
Síntesis
Un simplexo es el politopo convexo único determinado por vértices afínmente independientes; como celda afín elemental sustenta triangulaciones, representaciones coordenadas y aproximaciones lineales locales de la geometría.