Die konvexe Hülle einer endlichen Menge affinen unabhängigern Punkten; ein n-Simplex ist die konvexe Hülle von n+1 affinen unabhängigern Punkten und ist das einfachste n-dimensionale Polytope.

Prinzip

Ein Simplex ist das minimale konvexe Bauelement in gegebener Dimension: jeder Punkt im Simplex hat eindeutige baryzentrische Koordinaten bezüglich der Ecken, und jede affine Abbildung ist durch ihr Wirken auf die Ecken festgelegt.

Demonstration

Das Standard-n-Simplex in R^{n+1} ist {x ∈ R^{n+1} : x_i ≥ 0, Σ_i x_i = 1}. In niedrigen Dimensionen ergeben sich ein Segment (1-Simplex), ein Dreieck (2-Simplex) und ein Tetraeder (3-Simplex).

Fehlanwendung

Die konvexe Hülle von n+1 Punkten ohne Prüfung der affinen Unabhängigkeit als Simplex zu bezeichnen (bei Abhängigkeit hat die Hülle geringere Dimension), oder geometrische Simplexe mit Zellen eines simplicialen Komplexes zu verwechseln, die nicht affin zusammengefügt sind.

Konsequenz

Simplexe liefern baryzentrische Koordinaten, einfache Formeln für Volumen und Orientierung und bilden die Atome von Triangulierungen, die zur Berechnung von Homologie, Integration und numerischen Approximationen von Mannigfaltigkeiten dienen.

Umkehrung

Sind die bestimmenden Punkte affinen abhängig, existiert kein n-Simplex, sondern ein degeneriertes Polytope niedrigerer Dimension; die Umkehrung führt zu allgemeinen Polytope, die mehr Ecken und Flächen benötigen.

Abgrenzung

Der Begriff setzt einen affinen Umgebungsraum und affine Unabhängigkeit voraus; er schließt nicht-konvexe oder gekrümmte Analoga aus (z.B. geodätische Simplexe auf gekrümmten Räumen) und rein kombinatorische Simplexe ohne Geometrie.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen dem geometrischen Simplex (ein reales konvexes Gebilde mit baryzentrischen Koordinaten) und dem rein kombinatorischen Simplex-Begriff in einem simplicialen Komplex, wo ein ‚Simplex‘ eine abstrakte Vertexmenge sein kann.

Synthese

Ein Simplex ist das eindeutige konvexe Polytope, das durch affinen unabhängige Eckpunkte bestimmt wird; als elementare affine Zelle bildet es die Grundlage für Triangulierungen, Koordinatendarstellungen und lokale lineare Approximationen der Geometrie.