L'incapacité d'étendre une solution d'une EDP définie sur un domaine à un ensemble plus large (généralement au-delà d'une partie du bord) dans la même classe de continuité ou de régularité ; elle peut résulter de singularités au bord, d'un défaut de régularité de trace, d'obstructions capacitaires ou d'incompatibilités fondamentales avec la continuation analytique.

Principe

L'extension exige à la fois un contrôle local du comportement près du bord (par ex. borne, intégrabilité, contrôle des oscillations) et des conditions de compatibilité globales ; l'absence de toute condition de trace requise ou de condition de singularité amovible empêche l'extension dans la classe visée.

Démonstration

Une fonction harmonique sur le disque unité qui se comporte comme un multiple du noyau de Poisson concentré en un point du bord peut ne pas admettre de limite non tangentielle finie en ce point, et ne peut donc pas être étendue continûment au-delà de ce point ; de même, des solutions avec singularités approchant le bord peuvent ne pas admettre d'extensions dans des espaces de Sobolev.

Mauvaise application

Confondre non-extensibilité et non-unicité est une mauvaise application : une solution peut être unique à l'intérieur du domaine mais ne pas pouvoir s'étendre au-delà du bord. Une autre erreur est de supposer que l'analyticité entraîne automatiquement l'extensibilité au travers d'ensembles frontières arbitraires sans vérifier la régularité du bord.

Conséquence

La non-extensibilité limite l'usage des arguments de continuation globale, empêche certains rehaussements de régularité au bord et peut forcer l'emploi de concepts de solution localisés ou affaiblis ; elle affecte aussi les problèmes inverses et de contrôle où l'extensibilité est souvent présumée.

Inversion

L'extensibilité (la réciproque) signifie que la solution admet une prolongation au-delà du bord avec la même régularité qualitative, ce qui implique généralement de meilleures propriétés de trace, des singularités amovibles ou la présence de barrières et d'une capacité suffisante près du bord.

Limite

Le concept s'applique à diverses classes de régularité (continue, C^k, analytique, Sobolev) ; l'obstruction précise et la terminologie dépendent de la classe choisie et de l'EDP : une obstruction dans la catégorie continue peut être amovible dans un sens Sobolev plus faible, et inversement.

Tension sémantique

Une tension existe entre les notions de singularité amovible et d'obstruction essentielle : certains comportements singuliers peuvent être éliminés par redéfinition sur un ensemble de capacité nulle, tandis que d'autres constituent des obstructions réelles à toute extension dans la classe ; déterminer lequel est le cas demande des outils fins de théorie du potentiel.

Synthèse

La non-extensibilité synthétise des phénomènes géométriques, analytiques et métriques : l'échec d'étendre une solution au-delà du bord reflète des singularités, l'absence de conditions de trace ou de capacité, et se rattache aux notions de régularité de bord (Wiener, barrières) ainsi qu'à la capacité des constructions de Perron ou variationnelles à être prolongées.