La incapacidad de extender una solución de una EDP definida en un dominio a un conjunto mayor (normalmente a través de parte de la frontera) en la misma clase de continuidad o regularidad; esto puede deberse a singularidades en la frontera, falta de regularidad de traza, obstrucciones de capacidad o incompatibilidades fundamentales con la continuación analítica.

Principio

La extensión requiere tanto control local del comportamiento cerca de la frontera (p. ej., acotación, integrabilidad, control de oscilaciones) como condiciones de compatibilidad globales; la falta de cualquiera de las condiciones de traza o de singularidad removible impide la extensión en la clase objetivo.

Demostración

Una función armónica en el disco unidad que se comporte como un múltiplo del núcleo de Poisson concentrándose en un punto de la frontera puede no tener límite nontangencial finito allí, por lo que no puede extenderse continuamente a través de ese punto; de forma análoga, soluciones con singularidades que se acercan a la frontera pueden no admitir extensiones en espacios de Sobolev.

Aplicación incorrecta

Confundir no extensibilidad con no unicidad es una mala aplicación: una solución puede ser única dentro del dominio y aun así no extenderse a través de la frontera. Otra mala práctica es suponer que la analiticidad implica extensibilidad a través de conjuntos fronterizos arbitrarios sin verificar la regularidad de la frontera.

Consecuencia

La no extensibilidad limita el uso de argumentos de continuación global, impide ciertos aumentos de regularidad en la frontera y puede obligar al uso de conceptos de solución localizados o más débiles; también afecta a problemas inversos y de control, donde a menudo se supone la extensibilidad.

Inversión

La extensibilidad (la inversión) significa que la solución admite una continuación a través de la frontera con la misma regularidad cualitativa, lo que típicamente implica mejores propiedades de traza, singularidades removibles o la presencia de barreras y capacidad suficiente cerca de la frontera.

Límite

El concepto se aplica a diversas clases de regularidad (continua, C^k, analítica, Sobolev); la obstrucción precisa y la terminología dependen de la clase elegida y de la EDP: una obstrucción en la categoría continua puede ser removible en un sentido Sobolev más débil, y viceversa.

Tensión semántica

Surge tensión entre las nociones de singularidad removible y obstrucción esencial: algunos comportamientos singulares pueden eliminarse por redefinición en un conjunto de capacidad nula, mientras que otros son obstrucciones genuinas a cualquier extensión en la clase; decidirlo requiere herramientas finas de teoría del potencial.

Síntesis

La no extensibilidad sintetiza fenómenos geométricos, analíticos y medibles: el fracaso de extender una solución a través de la frontera refleja singularidades, falta de condiciones de traza o de capacidad, y se conecta con nociones de regularidad del borde (Wiener, barreras) y con la posibilidad de continuar construcciones de Perron o variacionales.