Die Unfähigkeit, eine in einem Gebiet definierte Lösung einer PDE in dieselbe Stetigkeits- oder Regularitätsklasse auf eine größere Menge (typischerweise über einen Teil des Randes hinaus) zu fortsetzen; dies kann durch Randsingularitäten, fehlende Spurregularität, kapazitäre Hindernisse oder grundsätzliche Inkompatibilitäten mit analytischer Fortsetzung verursacht werden.

Prinzip

Fortsetzung erfordert sowohl lokale Kontrolle des Verhaltens nahe dem Rand (z. B. Beschränktheit, Integrabilität, Oszillationskontrolle) als auch globale Kompatibilitätsbedingungen; das Fehlen einer erforderlichen Spur- oder entfernbarkeitsbedingung verhindert die Fortsetzung in der Zielklasse.

Demonstration

Eine harmonische Funktion in der Einheitscheibe, die sich wie ein Vielfaches des Poisson-Kerns konzentriert an einem Randpunkt verhält, kann keine endliche nontangentiale Grenze dort besitzen und lässt sich daher nicht stetig über diesen Randpunkt fortsetzen; ähnlich können Lösungen mit Singularitäten, die sich dem Rand nähern, keine Sobolev-Fortsetzungen besitzen.

Fehlanwendung

Nicht-Erweiterbarkeit mit Nicht-Eindeutigkeit zu verwechseln ist ein Fehlgebrauch: Eine Lösung kann im Inneren eindeutig sein und dennoch nicht über den Rand fortsetzbar sein. Ein weiterer Fehlgebrauch ist die Annahme, dass Analytizität Formallerweiterbarkeit über beliebige Randmengen impliziert, ohne die Randregularität zu prüfen.

Konsequenz

Nicht-Erweiterbarkeit schränkt den Einsatz globaler Fortsetzungsargumente ein, verhindert bestimmte Regularitätsverbesserungen am Rand und kann dazu zwingen, lokale oder schwächere Lösungskonzepte zu verwenden; sie wirkt sich auch auf Inverse Probleme und Steuerungsfragen aus, wo Fortsetzbarkeitsannahmen oft gemacht werden.

Umkehrung

Erweiterbarkeit (die Umkehrung) bedeutet, dass die Lösung eine Fortsetzung über den Rand mit derselben qualitativen Regularität besitzt, was typischerweise stärkere Spuren-Eigenschaften, entfernbare Singularitäten oder das Vorhandensein von Barrieren und ausreichender Kapazität nahe dem Rand impliziert.

Abgrenzung

Der Begriff gilt für verschiedene Regularitätsklassen (stetig, C^k, analytisch, Sobolev); das konkrete Hindernis und die Terminologie hängen von der gewählten Klasse und der PDE ab: ein Hindernis in der stetigen Kategorie kann in einem schwächeren Sobolev-Sinn entfernbar sein und umgekehrt.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen den Begriffen entfernbare Singularität und wesentliche Obstruktion: Manche singulären Verhaltensweisen lassen sich durch Neudefinition auf einer kapazitätsnullen Menge entfernen, andere sind echte Hindernisse für jede Fortsetzung in der Klasse; die Entscheidung erfordert feine potentialtheoretische Werkzeuge.

Synthese

Nicht-Erweiterbarkeit verbindet geometrische, analytische und maßtheoretische Phänomene: Das Scheitern, eine Lösung über den Rand fortzusetzen, reflektiert Singularitäten, fehlende Spur- oder Kapazitätsbedingungen und steht in engem Zusammenhang mit Randregularitätsbegriffen (Wiener, Barrieren) sowie der Frage, ob Perron- oder variationale Konstruktionen fortsetzbar sind.