Une condition en théorie du potentiel qui caractérise quand un point du bord d'un domaine est régulier pour le problème de Dirichlet pour le laplacien (ou certains opérateurs elliptiques linéaires uniformes) : en pratique, le point est régulier exactement lorsque une série ou un integral fondé sur la capacité, calculée sur les complémentaires de voisinages décroissants, diverge (selon la normalisation).

Principe

La régularité en un point de bord est gouvernée non par la mesure ordinaire mais par la capacité : la taille géométrique fine du complément près du point, mesurée par la capacité newtonienne ou logarithmique, détermine si les fonctions harmoniques atteignent les valeurs prescrites au bord.

Démonstration

Dans R^n, n≥3, pour un point x0∈∂Ω, considérer des anneaux concentriques de rayons 2^{-k} autour de x0 ; le critère de Wiener affirme que x0 est régulier si et seulement si la série ∑_k cap( (B(x0,2^{-k})\Ω) ) / 2^{-k(n-2)} diverge. Dans le plan, on remplace la capacité newtonienne par la capacité logarithmique avec une normalisation adaptée.

Mauvaise application

Remplacer la capacité par la mesure de Lebesgue ou par la mesure de Hausdorff du complément près du point conduit à des conclusions erronées : un ensemble de mesure nulle peut néanmoins avoir une capacité positive et influencer la régularité, donc les critères basés sur la mesure sont insuffisants en général.

Conséquence

Quand le critère de Wiener est satisfait en x0, la solution obtenue par la méthode de Perron atteint la valeur limite continue prescrite en x0 ; en d'autres termes, le problème de Dirichlet est résoluble ponctuellement en ce point du bord.

Inversion

La version inverse identifie les points irréguliers : si la série capacitaire correspondante converge (ou si l'intégrale est finie selon la convention), alors le point est irrégulier et il existe des données continues au bord que les harmoniques ne peuvent atteindre en ce point.

Limite

S'applique principalement au laplacien et aux opérateurs elliptiques linéaires uniformes, sous des hypothèses classiques sur les coefficients ; la forme précise de la capacité et de la normalisation dépend de la dimension et de l'opérateur, et le critère ne s'applique pas sans adaptation aux EDP non linéaires générales.

Tension sémantique

Confronte l'approche par barrières : Wiener fournit une condition capacitaire quantitative souvent vérifiable, tandis que la méthode des barrières construit des fonctions superharmoniques explicites ; sous des hypothèses classiques, les deux caractérisent la même régularité mais mettent en avant des aspects différents.

Synthèse

Le critère de Wiener relie une quantité géométrico-mesurée (la capacité des complémentaires proches d'un point du bord) à la régularité analytique au bord : la divergence d'une série capacitaire implique l'existence d'extensions harmoniques et coïncide, sous hypothèses usuelles, avec l'existence de barrières et le succès de la méthode de Perron.