Eine potentialtheoretische Bedingung, die charakterisiert, wann ein Randpunkt eines Gebiets für das Dirichlet-Problem des Laplace-Operators (oder bestimmter linearer gleichmäßig elliptischer Operatoren) regulär ist: grob gesagt ist der Punkt genau dann regulär, wenn eine kapazitätsbezogene Reihe oder ein Integral über die Komplemente schrumpfender Nachbarschaften divergiert (oder je nach Normalisierung konvergiert).

Prinzip

Die Regularität an einem Randpunkt wird nicht durch das gewöhnliche Maß, sondern durch die Kapazität gesteuert: die feingranulare geometrische Größe des komplementären Sets nahe dem Punkt, gemessen durch Newtonsche oder logarithmische Kapazität, entscheidet, ob harmonische Funktionen dort die vorgegebenen Randwerte annehmen.

Demonstration

In R^n, n≥3, betrachtet man für x0∈∂Ω konzentrische Ringe mit Radien 2^{-k} um x0; das Wiener-Kriterium besagt, dass x0 genau dann regulär ist, wenn die Reihe ∑_k cap( (B(x0,2^{-k})\Ω) ) / 2^{-k(n-2)} divergiert. In der Ebene verwendet man logarithmische Kapazität mit entsprechender Normalisierung.

Fehlanwendung

Die Kapazität durch das Lebesgue-Maß oder durch Hausdorff-Maß des Komplements in der Nähe des Punktes zu ersetzen, führt zu falschen Schlüssen: Eine Menge mit Maß Null kann dennoch positive Kapazität haben und die Regularität beeinflussen; maßtheoretische Kriterien sind daher allgemein unzureichend.

Konsequenz

Ist das Wiener-Kriterium in x0 erfüllt, so nimmt die durch Perrons Methode konstruierte Lösung den vorgegebenen stetigen Randwert in x0 an; äquivalent ist die punktweise Lösbarkeit des klassischen Dirichlet-Problems an diesem Randpunkt.

Umkehrung

Die Umkehrung beschreibt die irregulären Punkte: Falls die entsprechende kapazitäre Reihe konvergiert (oder das Integral nach Konvention endlich ist), so ist der Punkt irregulär und es existieren stetige Randdaten, die dort nicht von harmonischen Funktionen angenommen werden können.

Abgrenzung

Gilt vornehmlich für den Laplace-Operator und für gleichmäßig elliptische lineare Operatoren unter üblichen Regularitätsannahmen an die Koeffizienten; die konkrete Form der Kapazität und der Normalisierung hängt von der Dimension und dem Operator ab, und das Kriterium ist nicht ohne Anpassung auf allgemeine nichtlineare PDE übertragbar.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsverhältnis zur Barrier-Methode: Wiener liefert eine kapazitäre, quantitative Bedingung, die oft überprüfbar ist, während Barrierenkonstruktionen explizite superharmonische Funktionen nutzen; unter klassischen Voraussetzungen charakterisieren beide dieselbe Regularität, betonen jedoch verschiedene Perspektiven.

Synthese

Das Wiener-Kriterium verknüpft eine geometrisch-messbare Größe (Kapazität der Komplemente nahe einem Randpunkt) mit analytischer Randregularität: Die Divergenz einer kapazitären Reihe impliziert die Existenz harmonischer Fortsetzungen und stimmt unter üblichen Annahmen mit anderen Charakterisierungen wie Barrierexistenz und Perron-Erfolg überein.