Una condición de teoría del potencial que caracteriza cuándo un punto del borde de un dominio es regular para el problema de Dirichlet para el operador de Laplace (o ciertos operadores elípticos lineales uniformes): en esencia, el punto es regular precisamente cuando una serie o integral basada en la capacidad, calculada sobre los complementos de vecindades decrecientes, diverge (o converge según la normalización).

Principio

La regularidad en un punto del borde viene determinada no por la medida ordinaria sino por la capacidad: el tamaño geométrico fino del conjunto complementario cerca del punto, medido por la capacidad newtoniana o logarítmica, decide si las funciones armónicas alcanzan los valores prescritos en el borde.

Demostración

En R^n, n≥3, para un punto x0 en ∂Ω considere anillos concéntricos de radios 2^{-k} alrededor de x0; el criterio de Wiener afirma que x0 es regular si y solo si la serie ∑_k cap( (B(x0,2^{-k})\Ω) ) / 2^{-k(n-2)} diverge. En el plano se usa la capacidad logarítmica con la normalización adecuada.

Aplicación incorrecta

Sustituir la capacidad por la medida de Lebesgue o por la medida de Hausdorff del complemento cerca del punto lleva a conclusiones erróneas: un conjunto de medida cero puede tener capacidad positiva e influir en la regularidad, por lo que los criterios basados en medidas son insuficientes en general.

Consecuencia

Cuando el criterio de Wiener se cumple en x0, la solución obtenida por el método de Perron toma el valor límite continuo prescrito en x0; equivalente a esto, el problema de Dirichlet es solvable puntualmente en ese punto del borde.

Inversión

La inversión identifica puntos irregulares: si la serie capacitaria correspondiente converge (o la integral es finita según la convención), entonces el punto es irregular y existen datos continuos en el borde que las funciones armónicas no pueden alcanzar ahí.

Límite

Se aplica principalmente al laplaciano y a operadores elípticos lineales uniformes bajo hipótesis estándar de regularidad de coeficientes; la forma precisa de la capacidad y la normalización depende de la dimensión y del operador, y el criterio no se aplica directamente a EDP no lineales generales sin adaptaciones.

Tensión semántica

Compite con el Enfoque de Barreras: Wiener ofrece una condición capacitaria y cuantitativa a menudo comprobable, mientras que el método de barreras construye funciones superarmónicas explícitas; bajo hipótesis clásicas ambos caracterizan la misma regularidad pero enfatizan estructuras diferentes.

Síntesis

El criterio de Wiener conecta una cantidad geométrico-métrica (la capacidad de los complementos próximos a un punto del borde) con la regularidad analítica en el borde: la divergencia de una serie de capacidades implica la existencia de extensiones armónicas y coincide, bajo supuestos habituales, con la existencia de barreras y el éxito del método de Perron.