Un principe de l'analyse complexe affirmant qu'une fonction holomorphe non constante sur un domaine ouvert connexe ne peut pas atteindre un maximum strict local de son module dans l'intérieur ; si le module atteint un maximum global sur le domaine, la fonction est constante. Équivalemment, |f| est sous‑harmonique et prend son maximum sur le bord.

Principe

L'holomorphie impose que la magnitude d'une fonction analytique non constante ait des maxima situés sur le bord du domaine ; un extremum intérieur du module implique la constance.

Démonstration

Pour f(z)=z dans le disque unité, |f| atteint son maximum sur le cercle unité et jamais strictement à l'intérieur. Si f est holomorphe sur un domaine connexe et |f(z0)| ≥ |f(z)| pour z proches de z0, alors f est constante d'après le principe du module maximal.

Mauvaise application

Appliquer le principe à des fonctions simplement différentiables ou à des fonctions méromorphes avec pôles ; le résultat exige l'holomorphie sur tout le domaine (ou la sous‑harmonicité de log|f| pour les fonctions sans zéros).

Conséquence

Soutient des résultats d'unicité, le théorème de l'image ouverte et des propriétés de rigidité des applications holomorphes ; il contrôle zéros et croissance et est central pour les problèmes aux limites.

Inversion

Un énoncé analogue pour le module minimal existe pour les fonctions holomorphes sans zéros (le minimum de |f| est sur le bord), mais des minima intérieurs peuvent exister en zéros ; inverser le principe sans l'hypothèse de non‑annulation échoue.

Limite

Nécessite un domaine ouvert connexe et l'holomorphie sur ce domaine ; ne s'applique pas aux singularités, aux fonctions simplement continues complexes, ni directement aux fonctions harmoniques sans modifications.

Tension sémantique

Significations voisines incluent le principe du maximum pour les fonctions harmoniques et le théorème de l'image ouverte ; il faut distinguer maxima du module et extrema des composantes réelles/complexes et noter la différence sousharmonique/harmonique.

Synthèse

Le principe du module maximal affirme que le module d'une fonction holomorphe non constante sur un domaine connexe ne peut pas avoir de maxima stricts intérieurs, liant holomorphie, sous‑harmonicité et comportement aux frontières en une seule assertion de rigidité utilisée partout en analyse complexe.