Un principio del análisis complejo que afirma que una función holomorfa no constante en un dominio abierto conexo no puede alcanzar un máximo local estricto de su módulo en el interior; si el módulo alcanza un máximo global en el dominio, la función es constante. Equivalente: |f| es subarmónica y alcanza su máximo en la frontera.

Principio

La holomorfía obliga al comportamiento de la magnitud de una función analítica de modo que los máximos ocurren solo en la frontera; un extremo interior del módulo implica constancia.

Demostración

Para f(z)=z en el disco unidad, |f| alcanza su máximo en el círculo unidad y nunca estrictamente en el interior. Si f es holomorfa en un dominio conexo y |f(z0)| ≥ |f(z)| en una vecindad de z0, entonces f es constante según el principio del módulo máximo.

Aplicación incorrecta

Aplicar el principio a funciones meramente diferenciables o a funciones meromorfas con polos; el resultado requiere holomorfía en el dominio (o subarmonicidad de log|f| para funciones sin ceros).

Consecuencia

Sostiene resultados de unicidad, el teorema de la imagen abierta y propiedades de rigidez de aplicaciones holomorfas; controla ceros y crecimiento y es clave en problemas de valor en la frontera.

Inversión

Existe un enunciado análogo de módulo mínimo para funciones holomorfas sin ceros (el mínimo de |f| se localiza en la frontera), pero pueden existir mínimos interiores en ceros; invertir el principio sin la hipótesis de no anulación falla.

Límite

Requiere un dominio abierto conexo y holomorfía en él; no se aplica en singularidades, a funciones complejas meramente continuas ni directamente a funciones armónicas sin modificación.

Tensión semántica

Hay cercanía con el principio del máximo para funciones armónicas y con el teorema de la imagen abierta; debe distinguirse entre máximos del módulo y extremos de componentes reales/imaginarias, y entre subarmonicidad y harmonicidad.

Síntesis

El principio del módulo máximo afirma que el módulo de una función holomorfa no constante en un dominio conexo no puede tener máximos estrictos interiores, uniendo holomorfía, subarmonicidad y comportamiento en la frontera en una sola afirmación de rigidez usada en todo el análisis complejo.