Ein Grundsatz der komplexen Analysis, der besagt, dass eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einem zusammenhängenden offenen Gebiet kein striktes lokales Maximum ihres Betrags im Inneren erreichen kann; erreicht der Betrag ein globales Maximum im Gebiet, so ist die Funktion konstant. Äquivalent: |f| ist subharmonisch und nimmt sein Maximum am Rand an.

Prinzip

Holomorphie zwingt das Betragsverhalten so, dass Maxima nicht im Inneren auftreten; ein inneres Extremum des Betrags impliziert Konstantheit.

Demonstration

Für f(z)=z in der Einheitscheibe erreicht |f| sein Maximum auf dem Einheitskreis, niemals streng innen. Hat f auf einem zusammenhängenden Gebiet in z0 die Eigenschaft |f(z0)| ≥ |f(z)| in einer Nachbarschaft, so ist f konstant nach dem Maximum‑Modul‑Prinzip.

Fehlanwendung

Anwendung des Prinzips auf lediglich differenzierbare oder auf meromorphe Funktionen mit Polen; der Satz erfordert Holomorphie auf dem Gebiet (bzw. Subharmonizität von log|f| bei nicht verschwindenden Funktionen).

Konsequenz

Begründet Eindeutigkeitsaussagen, den Offenheitsatz und Starrheitsphänomene holomorpher Abbildungen; es liefert Kontrolle über Nullstellen und Wachstum und ist ein zentrales Werkzeug bei Randwertproblemen.

Umkehrung

Ein entsprechender Minimalbetrags‑Satz gilt für nicht verschwindende holomorphe Funktionen (das Minimum von |f| liegt am Rand), aber innere Minima können an Nullstellen auftreten; eine Umkehrung ohne Nichtverschwinden ist falsch.

Abgrenzung

Erfordert ein zusammenhängendes offenes Gebiet und Holomorphie dort; gilt nicht an Singularitäten, für lediglich stetige komplexe Funktionen oder unmittelbar für harmonische Funktionen ohne Anpassung.

Semantische Spannung

Nähe besteht zum Maximumprinzip für harmonische Funktionen und zum Offenensatz; man muss zwischen Betragsmaxima und Extrema der Real‑/Imaginärteile unterscheiden und Subharmonizität versus Harmonizität beachten.

Synthese

Das Maximum‑Modul‑Prinzip besagt, dass der Betrag einer nichtkonstanten holomorphen Funktion auf einem zusammenhängenden Gebiet keine strikten inneren Maxima haben kann und verbindet damit Holomorphie, Subharmonizität und Randverhalten zu einer zentralen Starrheitsaussage der komplexen Analysis.