Un théorème qui donne les conditions pour qu'une sous‑algèbre A de C(X) (fonctions continues réelles ou complexes sur un espace compact de Hausdorff X) soit dense uniformément dans C(X) : en général A doit contenir les constantes, séparer les points, et dans le cas complexe être stable par conjugaison (une *‑sous‑algèbre).

Principe

La fermeture algébrique par addition et multiplication combinée à la capacité de séparer les points et à la présence des constantes impose l'approximation uniforme de toute fonction continue sur un compact.

Démonstration

Les polynômes forment une sous‑algèbre de C([a,b]) contenant les constantes et séparant les points, donc sont uniformément denses (Weierstrass classique) ; les polynômes trigonométriques séparent les points du cercle et sont denses dans C(S1).

Mauvaise application

Supposer la densité alors que l'algèbre ne sépare pas les points, n'a pas les constantes, ou dans le cas complexe n'est pas fermée par conjugaison ; appliquer la conclusion de compacité à des domaines non compacts sans remplacer C(X) par C0(X) ou sans conditions de décroissance.

Conséquence

Fournit un outil puissant pour approcher des fonctions continues par des classes plus simples (polynômes, combinaisons algébriques, sommes trigonométriques), soutenant le calcul fonctionnel et les arguments constructifs d'approximation.

Inversion

Une sous‑algèbre propre et fermée pour la norme du sup peut exister lorsque la séparation ou la condition sur les constantes échoue ; la réciproque met en évidence des obstructions comme la non‑séparation.

Limite

La formulation exige X compact de Hausdorff et des hypothèses sur A (constantes, séparation, *‑stabilité pour le cas complexe) ; pour X non compact on utilise des versions pour C0(X) avec hypothèses additionnelles ou approximations pondérées.

Tension sémantique

Tension entre le théorème d'approximation de Weierstrass (polynômes sur un intervalle) et la généralisation de Stone : les deux affirment la densité mais diffèrent par les hypothèses et le champ d'application ; éviter aussi la confusion avec la compactification de Stone–Čech.

Synthèse

Stone–Weierstrass affirme qu'une algèbre de fonctions continues suffisamment riche algébriquement et topologiquement (contenant les constantes et séparant les points, avec *‑stabilité pour les fonctions complexes) approchera uniformément toute fonction continue sur un compact, faisant de l'approximation une conséquence des propriétés algébriques et de séparation.