Ein Satz, der Bedingungen angibt, unter denen eine Teilalgebra A von C(X) (stetige reell‑ oder komplexwertige Funktionen auf einem kompakten Hausdorff‑Raum X) gleichmäßig dicht in C(X) ist: üblicherweise muss A die Konstanten enthalten und Punkte trennen; im komplexen Fall sollte A unter Konjugation abgeschlossen sein (eine *‑Unteralgebra).

Prinzip

Algebraische Abschlüsse unter Addition und Multiplikation zusammen mit der Fähigkeit, Punkte zu trennen, sowie das Vorhandensein von Konstanten erzwingen die gleichmäßige Approximation beliebiger stetiger Funktionen auf Kompakta.

Demonstration

Polynome bilden eine Teilalgebra von C([a,b]), enthalten Konstanten und trennen Punkte, daher sind sie gleichmäßig dicht (klassischer Weierstraß). Trigonometrische Polynome trennen Punkte auf dem Kreis und sind dicht in C(S1).

Fehlanwendung

Die Dichtheit anzunehmen, obwohl die Algebra keine Punkte trennt, keine Konstanten enthält oder im komplexen Fall nicht unter Konjugation abgeschlossen ist; die kompakte Folgerung auf nicht kompakte Räume zu übertragen, ohne C(X) durch C0(X) zu ersetzen oder Abfallbedingungen zu stellen.

Konsequenz

Bietet ein leistungsfähiges Mittel, stetige Funktionen durch einfachere Klassen (Polynome, algebraische Kombinationen, trigonometrische Summen) zu approximieren; Grundlage für Funktionenkalkül und konstruktive Approximation.

Umkehrung

Eine echte, nach der Supremumsnorm abgeschlossene Teilalgebra kann existieren, wenn die Trennungsbedingung oder die Konstanten fehlen; die Umkehrung identifiziert Hindernisse wie Nicht‑Trennung.

Abgrenzung

Die Aussage erfordert X kompakt und Hausdorff sowie Voraussetzungen an A (Konstanten, Trennung, *‑Abschluss im komplexen Fall); für nicht kompakte X gibt es Versionen für C0(X) mit zusätzlichen Bedingungen.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen dem klassischen Weierstraß‑Approximationssatz (Polynome auf einem Intervall) und Stones Verallgemeinerung: beide behaupten Dichtheit, unterscheiden sich aber in Hypothesen und Geltungsbereich; Verwechslungen mit der Stone‑Čech‑Kompaktifizierung sind zu vermeiden.

Synthese

Stone–Weierstrass besagt, dass eine algebraisch und topologisch hinreichend reiche Algebra stetiger Funktionen (Konstanten enthaltend und Punkte trennend, mit *‑Abschluss im komplexen Fall) jede stetige Funktion auf einem Kompaktum gleichmäßig approximiert und so Approximation aus algebraischen Trennungsbedingungen folgt.